Matemàtiques, filosofia de les

Branca de la filosofia que estudia els problemes epistemològics que susciten les matemàtiques. Al llarg de la seva història, aquests problemes han fet referència bàsicament:

1. al raonament matemàtic;
2. a la fonamentació de la ciència matemàtica i
3. a la qüestió de quin tipus d'entitat són els objectes matemàtics.

Des dels seus orígens, el raonament matemàtic no ha tingut res a veure amb el clàssic raonament de la lògica aristotèlica; Descartes i J. Stuart Mil, i abans Bacon, van posar en relleu en el seu moment l'esterilitat científica del raonament fet per sil·logismes enfront de la fecunditat i rigor del raonament matemàtic. També Kant va reconèixer l'estancament de la lògica, per a ell tancada i acabada, mentre que valorava el coneixement que aportaven les matemàtiques. Dels matemàtics van aprendre els epistemòlegs que existien altres formes de raonament, diferents de les de la lògica aristotèlica, per exemple, el raonament per recursividad, el més característic dels raonaments matemàtics, també anomenat inducció matemàtica. Però ha estat l'estudi dels seus propis fonaments el que més ha contribuït a la reflexió filosòfica sobre la matemàtica. Tradicionalment, es mantenia com a afirmació indiscutida que les matemàtiques es fonamentaven en alguna classe d'intuïció. Sigui entesa en sentit cartesià o en sentit kantià, la intuïció matemàtica exerceix el paper fonamental de captació bàsica de l'objecte, sigui el nombre, o el punt, la línia o la figura: els objectes matemàtics es presenten com a tals a un enteniment humà que és capaç de conèixer-los i estudiar-los, com si es tractés d'alguna manera de formes platòniques preexistents i independents. Aquestes intuïcions es plasmaven deductivament en axiomes, postulats, definicions i teoremes.

Els canvis esdevinguts al llarg del s. XIX en el desenvolupament de la teoria de conjunts (Cantor) i la lògica (Boole, De Morgan), en la fonamentació de la lògica en l'aritmètica (Frege) i sobretot de la geometria, en particular a causa de l'aparició, cap a 1825, de les anomenades geometries no euclidianes (Lobachevsky, Riemann i uns altres), van obligar a un canvi de perspectiva matemàtica: sembla més adequat pensar que les teories matemàtiques i els objectes matemàtics són obra de la ment. Apareix així la concepció moderna de les matemàtiques. A la importància donada als sistemes deductius basats en última instància en la intuïció de primers principis, enfocament que procedeix del mateix Euclides, que segueix en això la concepció axiomàtica de la ciència d'Aristòtil, succeeix la necessitat de justificar per què s'escullen determinats axiomes en comptes d'uns altres. A la noció d'objecte matemàtic succeeix, com a fonamental, la d'estructures matemàtiques amb propietats formals. Els axiomes s'organitzen en sistemes i es busca un llenguatge per a expressar-los amb tot rigor, de manera que se succeeixen intents de formalització i axiomatització de totes les teories matemàtiques fonamentals, i apareix així el mètode axiomàtic. En lloc de la intuïció i l'evidència, característiques tradicionals dels axiomes, es consideren fonamentals les noves propietats dels sistemes formals axiomàtics: consistència, completesa, independència, decidibilitat i satisfacibilitat. Les matemàtiques busquen els seus nous fonaments, i a l'«estudi dels fonaments» de la matemàtica se'l denomina lògica matemàtica. L'enorme impuls inicial que van suposar, per al desenvolupament de les noves matemàtiques, els descobriments sobre teoria de conjunts, en la qual es basava la fonamentació de les matemàtiques, es va veure amenaçat per la denominada «crisi dels fonaments», produïda per l'observació de contradiccions en el si de la mateixa teoria.

B. Russell

La paradoxa de Burali-Forti (1897) i la formulada per Russell (1901) van posar de manifest la inconsistència de la teoria de conjunts de Cantor i la de les classes de Frege, respectivament. El dubte sobre la solidesa dels fonaments matemàtics va seguir tres vies d'investigació: el logicisme, l'intuïcionisme i el formalisme. ja que les paradoxes de la teoria de conjunts eren de naturalesa lògic-matemàtica, Whitehead i Russell van emprendre la reforma de la lògica amb la seva obra conjunta Principia Mathematica (1910-1913). En ella es troba la teoria dels tipus, amb la qual Russell aconsegueix demostrar la consistència de l'àlgebra i l'aritmètica de classes. La distinció de diferents nivells de llenguatge, iniciada per Russell i completada per Tarski i Carnap, va permetre resoldre paradoxes semàntiques.

El logicisme va perseguir com a objectiu la fonamentació de la matemàtica en la lògica. Aquest plantejament no va ser del grat de molts matemàtics, que van considerar que les matemàtiques comprenen una mica més que la lògica matemàtica, o estudi dels seus fonaments, i l'atenció es va dirigir a l'estudi dels sistemes formals axiomàtics mateixos, és a dir, a la seva formalització: el formalisme, iniciat per Hilbert, pretén demostrar la consistència d'un sistema axiomàtic (de la matemàtica) des de fora del sistema (des de la metamatemàtica). La metamatemàtica de Hilbert, el denominat programa formalista, aspirava a construir una teoria des de la qual pogués demostrar-se la consistència, la completesa, i la decidibilitat d'un sistema axiomàtic (el seu objectiu concret era provar la consistència de l'aritmètica elemental). K. Gödel va sostenir, en 1931, amb el teorema de la incompletesa, que un sistema axiomàtic d'aritmètica elemental no era complet, si era consistent, o que no podia provar-se la consistència d'un sistema d'aritmètica elemental que fos complet. La qual cosa equival a dir que la consistència d'un sistema ha de provar-se sempre des d'un altre sistema. La tercera via d'investigació sobre els fonaments, l'intuïcionisme de Brouwer, es va centrar en els defectes del que es donava per descomptat en els fonaments i en les mateixes demostracions matemàtiques: s'acceptaven gratuïtament, al seu entendre, conjunts infinits i principis, com el del tercer exclòs, base de la lògica bivalent, que no poden considerar-se universalment veritables. El principi fonamental de l'intuïcionisme és que tot objecte matemàtic, en oposició als residus de platonisme que existeixen encara en el formalisme, és alguna cosa construïda per la ment humana i que només ha d'acceptar-se allò la demostració del qual sigui possible. Les crítiques de Brouwer van donar pas al desenvolupament de noves lògiques no clàssiques: trivalents i polivalents (Tarski, Lukasiewicz, Reichenbach).

Vegeu nombre.

Termes relacionats