Georg Cantor



Matemàtic i lògic alemany, nascut a Sant Petersburg (Rússia), de família alemanya; va estudiar matemàtiques a Berlín amb Karl Weierstrass i va ser professor a la universitat de Halle de 1872 a 1913. A partir de 1874, i per tota la resta de la seva vida, va tenir problemes de salut psíquica, provocats pel que sembla, en part, per l'oposició constant que va experimentar a les seves investigacions matemàtiques. És conegut sobretot pels seus estudis sobre teoria dels nombres, en particular dels transfinits (cardinals, o nombre d'elements, de conjunts infinits), la seva noció d'infinit actual, que introdueix en matemàtiques, i sobretot per ser el fundador de la teoria de conjunts, el desenvolupament dels quals es va entremesclar amb el de la lògica moderna.

Defineix l'infinit actual segons les propietats d'«alef sub zero» [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math], el més petit dels transfinits, i cardinal el conjunt de coses que poden comptar-se amb la sèrie infinita de nombres naturals): un conjunt és infinit, o és de cardinalitat infinita, si el seu nombre cardinal és el mateix que el d'un subconjunt seu (o pot posar-se en correspondència biunívoca amb el cardinal d'una part de si mateix); en cas contrari, és finit. El conjunt dels nombres naturals és infinit (té igual cardinalitat que el conjunt, per exemple, de nombres naturals parells). Tot conjunt que pot comptar-se amb la sèrie de nombres naturals és anomenat «enumerable». I hi ha infinits cardinals, però el cardinal dels nombres «reals», R, (amb el qual pot explicar-se «tot») és major que [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math], raó per la qual no és enumerable, sinó transcendental; però és infinit, i per aquest motiu el cardinal de R sigui [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math], i així successivament: a aquesta successió de transfinits l'anomena «hipòtesi del continu». El conjunt dels subconjunts d'un conjunt determinat es diu «conjunt potència», i el teorema de Cantor afirma que el conjunt potència d'un conjunt donat és més gran que aquest mateix conjunt; la qual cosa val també pels transfinits. D'aquí deriva la paradoxa de Cantor, si s'aplica aquesta noció al conjunt de tots els conjunts.

Les seves principals obres són Fonaments de teoria de conjunts (1883) i Contribucions a la fonamentació de la teoria dels nombres transfinits (1885-1892).