Sistema axiomàtic

Sistema deductiu format per un grup d'enunciats anomenats axiomes que, degudament formalitzats i definits, permeten deduir, mitjançant regles d'inferència precises, el conjunt d'enunciats, anomenats teoremes, que pertanyen al sistema. En l'antiguitat, van elaborar teories axiomàtiques Euclides en geometria i Arquimedes en física. La mecànica clàssica de Newton està també formulada mitjançant axiomes. Modernament, s'ha procedit a l'axiomatització de les matemàtiques, sobretot des del s. XIX, quan, a partir d'una banda de l'aparició de diverses geometries no euclidianes –com una conseqüència, precisament, de l'estudi de la independència del postulat de les paral·leles d'Euclides– i, per l'altre, de la crisi dels fonaments de la matemàtica (veg. filosofia de les matemàtiques), s'intenta un major rigor en la teoria matemàtica.

Per això, els primers sistemes axiomàtics es van aplicar a l'estudi de les matemàtiques. La matemàtica es concep des de llavors com una ciència deductiva purament formal i es distingeix entre la matemàtica teòrica (pròpiament, un sistema deductiu axiomatitzat) i la matemàtica aplicada (aquella de la qual és possible donar una interpretació real al món), amb el que el seu interès no resideix tant en la veritat del seu contingut material, com en el seu aspecte deductiu. El matemàtic alemany, D. Hilbert, en Fonaments de geometria (1899), axiomatitza la geometria euclidiana, i Peano fa el mateix amb l'aritmètica. A Hilbert es deu, a més, l'estudi de les propietats formals dels sistemes axiomàtics, o axiomàtica, que estableix en la consistència interna dels axiomes i en la seva independència les seves característiques fonamentals. Els axiomes d'una teoria són consistents, o no- contradictoris, si permeten deduir la veritat d'un enunciat, però no la seva negació. Els axiomes són, a més, independents, si cap d'ells és deduïble de la resta d'axiomes com un teorema. En cap cas s'exigeix que els axiomes siguin evidents.

La primera qualitat és absolutament necessària per a la coherència lògica d'un sistema axiomàtic; la segona, encara que desitjable, en cas de no posseir-se significa només redundància d'axiomes.

Els axiomes, en una teoria axiomatitzada, no són més que símbols; manquen de tot contingut i en si no són ni veritables ni falsos; són només esquemes d'enunciats. Poden, no obstant això, rebre una interpretació, referint-los a un univers d'objectes, i llavors passen a ser enunciats veritables o falsos. Si una interpretació fa veritable per a qualsevol cas al conjunt d'axiomes, tal interpretació és un model de la teoria. L'espai anomenat euclidià, per exemple, el de la nostra experiència sensorial, és una interpretació que fa veritable i consistent la geometria euclidiana. Aquesta parla només de símbols, punts, rectes, angles, etc., però aplicats a l'espai defineixen la seva estructura. El conjunt d'enunciats del sistema espacial és un model de la teoria axiomàtica d'Euclides (veg. text).

Frege, Russell i Whitehead són els constructors dels primers [#sistemaaxiomatico sistemes axiomàtics] de lògica (veg. exemple). Aquests dos últims exposen, en Principia Mathematica, una axiomatització del càlcul de lògica d'enunciats.

Un sistema axiomàtic requereix:

0. Una lògica bàsica (subjacent a tota teoria)

1. Termes primitius (termes lògics o no, necessaris per a construir definicions)

2. Termes definits

3. Axiomes o postulats del sistema

4. Regles d'inferència (per la deducció)

5. Teoremes del sistema.