Sainsbury: la paradoxa de Russell/es

Si Sócrates es hombre, entonces es miembro de la clase de los hombres. Si es miembro de la clase de los hombres, entonces es un hombre. ¿Pueden las clases ser miembros de clases? La respuesta parece que tendría que ser «sí». La clase de los hombres tiene más de 100 miembros, de modo que la clase de los hombres es un miembro de la clase de las clases con más de 100 miembros. En cambio, la clase de las Musas no pertenece a la clase de las clases que tienen más de 100 miembros, porque la tradición sostiene que la clase de las Musas sólo tiene doce miembros.

Muchas clases no son miembros de sí mismas. La clase de los hombres es una clase y no un hombre, de modo que no es miembro de la clase de los hombres, esto es, no es miembro de sí misma. Sin embargo, algunas clases son miembros de sí mismas: la clase de todas las clases presumiblemente lo es, y también lo es la clase de todas las clases con más de 100 miembros. Pasa lo mismo con la clase de lo que no es hombre: la clase de todas y sólo aquellas cosas que no son hombres. Puesto que ninguna clase es un hombre, la clase de lo que no es hombre no es un hombre, por lo que cumple la condición de ser ella misma miembro de la clase de las cosas que no son hombres.

Consideremos la clase de todas las clases que no son miembros de sí mismas. Llamemos a esta clase R. La condición necesaria y suficiente para que algo pertenezca a R es que sea una clase que no es miembro de sí misma. Pregunta: ¿Es R miembro de sí misma?

Supongamos que lo es. Entonces R debe cumplir la condición (necesaria) de pertenecer a R: que no es miembro de sí misma. De modo que, si es miembro de sí misma, no es miembro de sí misma.

Supongamos que no lo es. Entonces, al no ser una clase miembro de sí misma, cumple con la condición (suficiente) de no pertenecer a R: que no es miembro de sí misma. De modo que, si no es miembro de sí misma, es miembro de sí misma.

Resumiendo: R es miembro de sí misma si y sólo si no es miembro de sí misma. Esto es una contradicción.

Estar ante una contradicción no es necesariamente estar ante una paradoja. Recordemos la paradoja del barbero [...]. El barbero afeita a todos y sólo a aquellos que no se afeitan a sí mismos. ¿Quién afeita al barbero? Mediante un razonamiento similar al usado para derivar la paradoja de Russell, hallamos que el barbero se afeita a sí mismo si y sólo si no se afeita a sí mismo: una contradicción.

Respondemos a la paradoja del barbero diciendo simplemente que tal barbero no existe. ¿Por qué no debemos responder a la paradoja de Russell diciendo simplemente que no existe tal clase R? La diferencia está en lo siguiente: nada nos lleva a suponer que pudiera existir aquel barbero, pero nuestro modo de entender las clases hace que sea muy natural suponer que existe una clase tal como R. Evidentemente, nos vemos obligados por fuerza de la paradoja a aceptar que no puede existir tal clase. Esto es paradójico, porque muestra que ciertos puntos de vista obligados sobre qué es necesario para que exista una clase deben ser abandonados.

Se supone que el primer párrafo de esta sección introduce el punto de vista intuitivo natural de las clases, que ahora debo hacer más explícito. Dije que si Sócrates es un hombre, entonces es un miembro de la clase de los hombres. Llamemos «condición» a lo que se expresa, por ejemplo, mediante la frase en cursiva que acabo de utilizar. Así, «ser un hombre» es una condición, la que justamente Sócrates satisface, pero que el Mont Blanc no. El punto de vista natural de las clases incluye este principio de existencia de la clase:

EC: A toda condición inteligible, le corresponde una clase: sus miembros (si los hay) son todas y sólo aquellas cosas que satisfacen esta condición.

En correspondencia con la condición de ser hombre, existe la clase de los hombres. Incluso a una condición contradictoria –por ejemplo, la condición de ser a la vez cuadrado y no cuadrado– corresponde una clase; puesto que nada cumple la condición, es una clase que no tiene miembros (la clase «vacía»).

El principio EC es al parecer lo que lleva a la paradoja de Russell. Implica que exista tal clase como R si existe la condición inteligible: ser una clase que no es miembro de sí misma. Sin embargo, ya hemos visto que no puede existir tal clase como R.

Podemos precisar este punto de una manera más simbólica y clara, como sigue. Utilicemos «%»para abreviar «es miembro de» (y «pertenece a»).

EC. Para cada condición inteligible F, existe una clase x tal que: para todo objeto y, y % x si y sólo si y satisface F.

Por «y satisface F» podemos escribir, simplemente, «y es F»; por «si y sólo si», podemos escribir «siss». Poniendo «R» por la clase paradójica de Russell, «¬» como «no», y « ¬ es miembro de sí mismo» por «F», EC queda:

Para todo objeto y, y % R siss ¬(y es miembro de sí mismo)

Lo que vale para cualquier caso ha de valer también para R, de modo que:

R % R siss ¬ (R es miembro de sí mismo)

Puesto que, para R, ser miembro de sí mismo es lo mismo que ser miembro de R, escribiremos explícitamente la contradicción:

PR. [paradoja de Russell]: R % R siss ¬ (R % R)

Una sugerencia normal, llegados a este punto, es que la condición no es genuinamente inteligible; y esto es, en efecto, lo que sugieren la mayoría de respuestas a la paradoja de Russell. Si seguimos esta sugerencia, el principio EC puede mantenerse, en la medida que adoptemos un punto de vista suficientemente restrictivo sobre qué constituye una condición.