Sainsbury: la paradoxa de Russell

 Si Sòcrates és home, llavors és membre de la classe dels homes. Si és membre de la classe dels homes, llavors és un home. Poden les classes ser membres de classes? La resposta sembla que hauria de ser «sí». La classe dels homes té més de 100 membres, de manera que la classe dels homes és un membre de la classe de les classes amb més de 100 membres. En canvi, la classe de les Muses no pertany a la classe de les classes que tenen més de 100 membres, perquè la tradició sosté que la classe de les Muses només té dotze membres.

Moltes classes no són membres de si mateixes. La classe dels homes és una classe i no un home, de manera que no és membre de la classe dels homes, és a dir, no és membre de si mateixa. No obstant això, algunes classes són membres de si mateixes: la classe de totes les classes presumiblement ho és, i també ho és la classe de totes les classes amb més de 100 membres. Passa el mateix amb la classe del que no és home: la classe de totes i només aquelles coses que no són homes. ja que cap classe és un home, la classe del que no és home no és un home, raó per la qual compleix la condició de ser ella mateixa membre de la classe de les coses que no són homes.

Considerem la classe de totes les classes que no són membres de si mateixes. Anomenem a aquesta classe R. La condició necessària i suficient perquè alguna cosa pertanyi a R és que sigui una classe que no és membre de si mateixa. Pregunta: És R membre de si mateixa?

Suposem que ho és. Llavors R ha de complir la condició (necessària) de pertànyer a R: que no és membre de si mateixa. De manera que, si és membre de si mateixa, no és membre de si mateixa.

Suposem que no ho és. Llavors, al no ser una classe membre de si mateixa, compleix amb la condició (suficient) de no pertànyer a R: que no és membre de si mateixa. De manera que, si no és membre de si mateixa, és membre de si mateixa.

Resumint: R és membre de si mateixa si i només si no és membre de si mateixa. Això és una contradicció.

Estar davant una contradicció no és necessàriament estar davant una paradoxa. Recordem la paradoxa del barber [...]. El barber afaita a tots i només a aquells que no s'afaiten a si mateixos. Qui afaita al barber? Mitjançant un raonament similar a l'usat per a derivar la paradoxa de Russell, trobem que el barber s'afaita a si mateix si i només si no s'afaita a si mateix: una contradicció.

Responem a la paradoxa del barber dient simplement que tal barber no existeix. Per què no hem de respondre a la paradoxa de Russell dient simplement que no existeix tal classe R? La diferència està en el següent: res ens porta a suposar que pogués existir aquell barber, però la nostra manera d'entendre les classes fa que sigui molt natural suposar que existeix una classe tal com R. Evidentment, ens veiem obligats per força de la paradoxa a acceptar que no pot existir tal classe. Això és paradoxal, perquè mostra que certs punts de vista obligats sobre què és necessari perquè existeixi una classe han de ser abandonats.

Se suposa que el primer paràgraf d'aquesta secció introdueix el punt de vista intuïtiu natural de les classes, que ara haig de fer més explícit. Vaig dir que si Sòcrates és un home, llavors és un membre de la classe dels homes. Cridem «condició» al que s'expressa, per exemple, mitjançant la frase en cursiva que acabo d'utilitzar. Així, «ser un home» és una condició, la que justament Sòcrates satisfà, però que el Mont Blanc no. El punt de vista natural de les classes inclou aquest principi d'existència de la classe:

EC: A tota condició intel·ligible, li correspon una classe: els seus membres (si n'hi ha) són totes i només aquelles coses que satisfan aquesta condició.

En correspondència amb la condició de ser home, existeix la classe dels homes. Fins i tot a una condició contradictòria –per exemple, la condició de ser alhora quadrat i no quadrat– correspon una classe; ja que res compleix la condició, és una classe que no té membres (la classe «buida»).

El principi EC és pel que sembla el que porta a la paradoxa de Russell. Implica que existeixi tal classe com a R si existeix la condició intel·ligible: ser una classe que no és membre de si mateixa. No obstant això, ja hem vist que no pot existir tal classe com a R.

Podem precisar aquest punt d'una manera més simbòlica i clara, com segueix. Utilitzem «%» per a abreujar «és membre de» (y «pertany a»).

EC. Per a cada condició intel·ligible F, existeix una classe x tal que: per a tot objecte y, y % x si i només si y satisfà F.

Per «y satisfà F» podem escriure, simplement, «y és F»; per «si i només si», podem escriure «siss». Posant «R» per la classe paradoxal de Russell, «¬» com «no», i « ¬ és membre de si mateix» per «F», EC queda:

Per a tot objecte y, y % R siss ¬(y és membre de si mateix)

El que val per a qualsevol cas ha de valer també per a R, de manera que:

R % R siss ¬ (R és membre de si mateix)

ja que, per a R, ser membre de si mateix és el mateix que ser membre de R, escriurem explícitament la contradicció:

PR. [paradoxa de Russell]: R % R siss ¬ (R % R)

Un suggeriment normal, arribats a aquest punt, és que la condició no és genuïnament intel·ligible; i això és, en efecte, la qual cosa suggereixen la majoria de respostes a la paradoxa de Russell. Si seguim aquest suggeriment, el principi EC pot mantenir-se, en la mesura que adoptem un punt de vista prou restrictiu sobre què constitueix una condició.

Paradoxes, Cambridge University Press, Cambridge 1987, p. 109-112.

---

Original en castellà

Si Sócrates es hombre, entonces es miembro de la clase de los hombres. Si es miembro de la clase de los hombres, entonces es un hombre. ¿Pueden las clases ser miembros de clases? La respuesta parece que tendría que ser «sí». La clase de los hombres tiene más de 100 miembros, de modo que la clase de los hombres es un miembro de la clase de las clases con más de 100 miembros. En cambio, la clase de las Musas no pertenece a la clase de las clases que tienen más de 100 miembros, porque la tradición sostiene que la clase de las Musas sólo tiene doce miembros.

Muchas clases no son miembros de sí mismas. La clase de los hombres es una clase y no un hombre, de modo que no es miembro de la clase de los hombres, esto es, no es miembro de sí misma. Sin embargo, algunas clases son miembros de sí mismas: la clase de todas las clases presumiblemente lo es, y también lo es la clase de todas las clases con más de 100 miembros. Pasa lo mismo con la clase de lo que no es hombre: la clase de todas y sólo aquellas cosas que no son hombres. Puesto que ninguna clase es un hombre, la clase de lo que no es hombre no es un hombre, por lo que cumple la condición de ser ella misma miembro de la clase de las cosas que no son hombres.

Consideremos la clase de todas las clases que no son miembros de sí mismas. Llamemos a esta clase R. La condición necesaria y suficiente para que algo pertenezca a R es que sea una clase que no es miembro de sí misma. Pregunta: ¿Es R miembro de sí misma?

Supongamos que lo es. Entonces R debe cumplir la condición (necesaria) de pertenecer a R: que no es miembro de sí misma. De modo que, si es miembro de sí misma, no es miembro de sí misma.

Supongamos que no lo es. Entonces, al no ser una clase miembro de sí misma, cumple con la condición (suficiente) de no pertenecer a R: que no es miembro de sí misma. De modo que, si no es miembro de sí misma, es miembro de sí misma.

Resumiendo: R es miembro de sí misma si y sólo si no es miembro de sí misma. Esto es una contradicción.

Estar ante una contradicción no es necesariamente estar ante una paradoja. Recordemos la paradoja del barbero [...]. El barbero afeita a todos y sólo a aquellos que no se afeitan a sí mismos. ¿Quién afeita al barbero? Mediante un razonamiento similar al usado para derivar la paradoja de Russell, hallamos que el barbero se afeita a sí mismo si y sólo si no se afeita a sí mismo: una contradicción.

Respondemos a la paradoja del barbero diciendo simplemente que tal barbero no existe. ¿Por qué no debemos responder a la paradoja de Russell diciendo simplemente que no existe tal clase R? La diferencia está en lo siguiente: nada nos lleva a suponer que pudiera existir aquel barbero, pero nuestro modo de entender las clases hace que sea muy natural suponer que existe una clase tal como R. Evidentemente, nos vemos obligados por fuerza de la paradoja a aceptar que no puede existir tal clase. Esto es paradójico, porque muestra que ciertos puntos de vista obligados sobre qué es necesario para que exista una clase deben ser abandonados.

Se supone que el primer párrafo de esta sección introduce el punto de vista intuitivo natural de las clases, que ahora debo hacer más explícito. Dije que si Sócrates es un hombre, entonces es un miembro de la clase de los hombres. Llamemos «condición» a lo que se expresa, por ejemplo, mediante la frase en cursiva que acabo de utilizar. Así, «ser un hombre» es una condición, la que justamente Sócrates satisface, pero que el Mont Blanc no. El punto de vista natural de las clases incluye este principio de existencia de la clase:

EC: A toda condición inteligible, le corresponde una clase: sus miembros (si los hay) son todas y sólo aquellas cosas que satisfacen esta condición.

En correspondencia con la condición de ser hombre, existe la clase de los hombres. Incluso a una condición contradictoria –por ejemplo, la condición de ser a la vez cuadrado y no cuadrado– corresponde una clase; puesto que nada cumple la condición, es una clase que no tiene miembros (la clase «vacía»).

El principio EC es al parecer lo que lleva a la paradoja de Russell. Implica que exista tal clase como R si existe la condición inteligible: ser una clase que no es miembro de sí misma. Sin embargo, ya hemos visto que no puede existir tal clase como R.

Podemos precisar este punto de una manera más simbólica y clara, como sigue. Utilicemos «%»para abreviar «es miembro de» (y «pertenece a»).

EC. Para cada condición inteligible F, existe una clase x tal que: para todo objeto y, y % x si y sólo si y satisface F.

Por «y satisface F» podemos escribir, simplemente, «y es F»; por «si y sólo si», podemos escribir «siss». Poniendo «R» por la clase paradójica de Russell, «¬» como «no», y « ¬ es miembro de sí mismo» por «F», EC queda:

Para todo objeto y, y % R siss ¬(y es miembro de sí mismo)

Lo que vale para cualquier caso ha de valer también para R, de modo que:

R % R siss ¬ (R es miembro de sí mismo)

Puesto que, para R, ser miembro de sí mismo es lo mismo que ser miembro de R, escribiremos explícitamente la contradicción:

PR. [paradoja de Russell]: R % R siss ¬ (R % R)

Una sugerencia normal, llegados a este punto, es que la condición no es genuinamente inteligible; y esto es, en efecto, lo que sugieren la mayoría de respuestas a la paradoja de Russell. Si seguimos esta sugerencia, el principio EC puede mantenerse, en la medida que adoptemos un punto de vista suficientemente restrictivo sobre qué constituye una condición.