Arbres lògics, càlcul de

Càlcul lògic introduït per I.B. Beth (1955), i adaptat per altres autors, com J. Hintikka i R. Smullyan, com a procediment per a decidir si una fórmula és vàlida o no. Pertany als sistemes formals sintàctics (que no recorren al significat o interpretació dels seus símbols), i es basa fonamentalment en la propietat d'inconsistència entre enunciats i que un raonament invàlid posseeix almenys un contraexemple.

Segons aquest càlcul, la seqüència [math]\displaystyle{ A_1, A_2, A_n }[/math], per tant [math]\displaystyle{ B }[/math]
és un raonament vàlid si i només si el seu contraexemple,
[math]\displaystyle{ A_1, A_2, A_n }[/math], per tant [math]\displaystyle{ no-B }[/math], és inconsistent.

Si es vol construir una deducció, s'escriu (com no-B) la negació de la conclusió; si el que es vol provar és si una única fórmula és vàlida, o tautològica, s'escriu (com no-B) la seva negació.

S'estructura a manera d'arbre invertit, i d'aquí el seu nom, format per un conjunt finit de fórmules; les que componen el conjunt de premisses i la negació de la conclusió constitueixen el tronc; les derivacions d'aquestes segons les regles del mètode d'arbres formen les branques.

S'aplica una regla quan es transforma una fórmula donada en els seus components, segons determina la definició de la regla. Quan no hi ha més fórmules per a descompondre, s'acaba la ramificació de l'arbre. Llavors, apareixen dues possibilitats:

1) que una(s) branca(s) (o totes) estigui(n) tancada(s): una branca està tancada quan en la seva ramificació (en la seva línia) ha aparegut una contradicció; cosa que s'indica amb una X.

2) que alguna branca (o totes) quedi oberta: una branca està oberta quan en ella no apareix cap contradicció. Això indica que existeix alguna assignació de valors que satisfà (fa veritable a) la conclusió.

Una fórmula queda demostrada (sigui una fórmula tautològica, sigui la conclusió d'una deducció) quan de l'arbre pot tancar (marcant amb X) totes les seves branques. El procediment demostra que la negació de la fórmula que es vol deduir no és consistent, per a qualsevol valor, amb la resta de premisses, o que la negació de la fórmula el valor de la qual s'analitza és contradictòria per a qualsevol valor assignat a les seves lletres d'enunciat.

Un arbre es compon, per tant, de les premisses propostes i de la negació de la conclusió suposada; de diferents aplicacions de les regles de transformació i de les expressions lògiques finals, tancades (amb X) o obertes.

Les regles del mètode d'arbres, per la lògica d'enunciats, són les següents:

Exemples:

1. Derivar s del següent conjunt de fórmules

[math]\displaystyle{ (p\wedge ¬q)\rightarrow{s}, (q\rightarrow{r}), (p\wedge r) \vdash s }[/math]

que pot ser la formalització del següent raonament:

«Si Anna canta i Raül no toca el piano, Anna desafina. Però Raül només

toca el piano si Berta no està present. Anna canta i Berta està present.

Per tant, Anna desafina»

S'ha produït un error en crear la miniatura: Fitxer inexistent

2. Per a les tautologies,

Exemple 1

Sigui la tautologia [math]\displaystyle{ q\rightarrow{(q\vee t)} }[/math]

El seu arbre lògic és:

Per tant, si [math]\displaystyle{ ¬[q\rightarrow{(q\vee t)}] }[/math] és una contradicció, [math]\displaystyle{ q\rightarrow{(q\vee t)} }[/math] és una tautologia.

Exemple 2

Tot el que agrada o és il·legal, o immoral o engreixa. Prendre's un gelat és agradable. Prendre's un gelat no és il·legal ni immoral. Per tant, prendre's un gelat engreixa.

La seva formalització és:

Vegeu arbres lògics, en lògica d'enunciats i lògica de predicats.