Mostra la font per a Sainsbury: la paradoxa de Russell

{{PendentRev}}{{RecursWiki|Tipus=Extractes d'obres}}{{RecursBase|Nom=Sainsbury: la paradoxa de Russell|Idioma=Español}}
Si Sòcrates és home, llavors és membre de la classe dels homes. Si és membre de la classe dels homes, llavors és un home. Poden les ''classes'' ser membres de classes? La resposta sembla que hauria de ser «sí». La classe dels homes té més de 100 membres, de manera que la classe dels homes és un membre de la classe de les classes amb més de 100 membres. En canvi, la classe de les Muses no pertany a la classe de les classes que tenen més de 100 membres, perquè la tradició sosté que la classe de les Muses només té dotze membres.


Moltes classes no són membres de si mateixes. La classe dels homes és una classe i no un home, de manera que no és membre de la classe dels homes, això és, no és membre de si mateixa. No obstant això, algunes classes són membres de si mateixes: la classe de totes les classes presumiblement ho és, i també ho és la classe de totes les classes amb més de 100 membres. Passa el mateix amb la classe del que no és home: la classe de totes i només aquelles coses que no són homes. ja que cap classe és un home, la classe del que no és home no és un home, raó per la qual compleix la condició de ser ella mateixa membre de la classe de les coses que no són homes.


Considerem la classe de totes les classes que no són membres de si mateixes. Cridem a aquesta classe ''R''. La condició necessària i suficient perquè alguna cosa pertanyi a ''R'' és que sigui una classe que no és membre de si mateixa. Pregunta: És ''R'' membre de si mateixa?


Suposem que ho és. Llavors ''R'' ha de complir la condició (necessària) de pertànyer a ''R'': que no és membre de si mateixa. De manera que, si és membre de si mateixa, no és membre de si mateixa.


Suposem que no ho és. Llavors, al no ser una classe membre de si mateixa, compleix amb la condició (suficient) de no pertànyer a ''R'': que no és membre de si mateixa. De manera que, si no és membre de si mateixa, és membre de si mateixa.


Resumint: ''R'' és membre de si mateixa si i només si no és membre de si mateixa. Això és una contradicció.


Estar davant una contradicció no és necessàriament estar davant una paradoxa. Recordem la paradoxa del barber [...]. El barber afaita a tots i només a aquells que no s'afaiten a si mateixos. Qui afaita al barber? Mitjançant un raonament similar a l'usat per a derivar la paradoxa de Russell, trobem que el barber s'afaita a si mateix si i només si no s'afaita a si mateix: una contradicció.


Responem a la paradoxa del barber dient simplement que tal barber no existeix. Per què no hem de respondre a la paradoxa de Russell dient simplement que no existeix tal classe ''R''? La diferència està en el següent: res ens porta a suposar que pogués existir aquell barber, però la nostra manera d'entendre les classes fa que sigui molt natural suposar que existeix una classe tal com ''R''. Evidentment, ens veiem obligats per força de la paradoxa a acceptar que no pot existir tal classe. Això és paradoxal, perquè mostra que certs punts de vista obligats sobre què és necessari perquè existeixi una classe han de ser abandonats.


Se suposa que el primer paràgraf d'aquesta secció introdueix el punt de vista intuïtiu natural de les classes, que ara haig de fer més explícit. Vaig dir que si Sòcrates ''és un home'', llavors és un membre de la classe dels homes. Cridem «condició» al que s'expressa, per exemple, mitjançant la frase en cursiva que acabo d'utilitzar. Així, «ser un home» és una condició, la que justament Sòcrates satisfà, però que el Mont Blanc no. El punt de vista natural de les classes inclou aquest principi d'existència de la classe:

'''EC''': A tota condició intel·ligible, li correspon una classe: els seus membres (si n'hi ha) són totes i només aquelles coses que satisfan aquesta condició.

En correspondència amb la condició de ser home, existeix la classe dels homes. Fins i tot a una condició contradictòria –per exemple, la condició de ser alhora quadrat i no quadrat– correspon una classe; ja que res compleix la condició, és una classe que no té membres (la classe «buida»).


El principi '''EC''' és pel que sembla el que porta a la paradoxa de Russell. Implica que existeixi tal classe com a ''R'' si existeix la condició intel·ligible: ser una classe que no és membre de si mateixa. No obstant això, ja hem vist que no pot existir tal classe com a ''R''.


Podem precisar aquest punt d'una manera més simbòlica i clara, com segueix. Utilitzem «%» per a abreujar «és membre de» (y «pertany a»).

'''EC.''' Per a cada condició intel·ligible ''F'', existeix una classe ''x'' tal que: per a tot objecte ''y, y ''%'' x'' si i només si ''y ''satisfà ''F''.


Per «y satisfà F» podem escriure, simplement, «y és F»; per «si i només si», podem escriure «siss». Posant «R» per la classe paradoxal de Russell, «¬» com «no», i « ¬ és membre de si mateix» per «F», EC queda:


Per a tot objecte ''y, y ''%'' R'' siss ¬(''y'' és membre de si mateix)

El que val per a qualsevol cas ha de valer també per a ''R'', de manera que:

''R ''%'' R'' siss ¬ (''R'' és membre de si mateix)

ja que, per a R, ser membre de si mateix és el mateix que ser membre de R, escriurem explícitament la contradicció:

'''PR. '''[paradoxa de Russell]: ''R ''%'' R'' siss ¬ (''R ''%'' R'')

Un suggeriment normal, arribats a aquest punt, és que la condició no és genuïnament intel·ligible; i això és, en efecte, la qual cosa suggereixen la majoria de respostes a la paradoxa de Russell. Si seguim aquest suggeriment, el principi EC pot mantenir-se, en la mesura que adoptem un punt de vista suficientment restrictiu sobre què constitueix una condició.
{{Ref|Ref=''Paradoxes'', Cambridge University Press, Cambridge 1987, p. 109-112.|Títol=Paradoxes|Cita=true}}
{{InfoWiki}}