Penrose: platonisme matemàtic/es

¿Es la matemática invención o descubrimiento? Cuando los matemáticos obtienen sus resultados ¿están produciendo solamente elaboradas construcciones mentales que no tienen auténtica realidad, pero cuyo poder y elegancia basta simplemente para engañar incluso a sus inventores haciéndoles creer que estas construcciones mentales son «reales»? ¿O están descubriendo realmente verdades que estaban ya «ahí», verdades cuya existencia es independiente de las actividades de los matemáticos? Creo que, por ahora, debe quedar muy claro para el lector que me adhiero al segundo punto de vista, más que al primero, al menos con respecto a estructuras como los números complejos y el conjunto de Mandelbrot.

Pero quizá la cuestión no sea tan sencilla como esto. Como ya he dicho, hay cosas en las matemáticas, tales como los ejemplos que acabo de citar, para las que el término «descubrimiento» es mucho más apropiado que «invención». Existen los casos en que sale de la estructura mucho más de lo que se introdujo al principio. Podríamos adoptar el punto de vista de que en tales casos los matemáticos han tropezado con «obras de Dios». Sin embargo, existen otros casos en los que la estructura matemática no tiene esa compulsiva unicidad; por ejemplo, cuando en medio de la demostración de algún resultado el matemático encuentra necesario introducir alguna construcción artificial, y de ningún modo única, para conseguir algún fin muy específico. En tales casos, no es probable que se obtenga nada más de la construcción que lo que se puso al principio, y la palabra «invención» parece más apropiada que «descubrimiento». Éstas son «obras del hombre». Desde este punto de vista, los auténticos descubrimientos matemáticos serían considerados, de forma general, como consecuencias o aspiraciones más altas que lo que serían las «meras» invenciones.

Tales clasificaciones no son muy diferentes de las que podríamos utilizar en las artes o la ingeniería. Las grandes obras de arte están «más cerca de Dios» que las obras menores. Es un sentir no poco común entre artistas el que en sus obras más grandes están revelando verdades eternas que tienen algún tipo de existencia etérea previa *, mientras que sus obras menores podrían ser más arbitrarias, de la naturaleza de las meras construcciones mortales. De modo análogo, una innovación de bella sencillez en ingeniería, con la que abre una enorme perspectiva para la aplicación de alguna idea simple e inesperada, podría ser descrita con propiedad como un descubrimiento más que una invención.

No obstante, después de hacer estos comentarios no puedo evitar el sentimiento de que, en el caso de las matemáticas, la creencia en algún tipo de existencia etérea y eterna, al menos para los conceptos más profundamente matemáticos, es mucho más fuerte que en los otros casos. Hay en tales ideas matemáticas una compulsiva unicidad y universalidad que parecen ser de un orden diferente del que se pudiera esperar en las artes o la ingeniería. El punto de vista de que los conceptos matemáticos podrían existir en ese sentido etéreo e intemporal fue planteado en tiempos antiguos (c. 360 a.C.) por el gran filósofo griego Platón. En consecuencia, este punto de vista es calificado a veces de platonismo matemático. Tendrá gran importancia para nosotros más tarde. [...]

La noción de verdad matemática va más allá del concepto global de formalismo. Hay algo absoluto e «infuso» en la verdad matemática. De esto trata el platonismo matemático, como se discutió al final del último capítulo. Cualquier sistema formal concreto tiene una cualidad provisional y «de factura humana». Tales sistemas pueden desempeñar papeles muy valiosos en las discusiones matemáticas, pero sólo pueden proporcionar una guía parcial (o aproximada) a la verdad. La verdad matemática real va más allá de las simples construcciones humanas.[...]

He señalado dos escuelas contrarias de filosofía matemática, que se inclinan fuertemente hacia el platonismo antes que hacia el punto de vista formalista. En realidad he sido bastante simplista en mis distinciones y pueden hacerse muchas matizaciones. Por ejemplo, se puede argumentar bajo el encabezamiento de platonismo bien tengan los objetos del pensamiento matemático algún tipo de «existencia» real o bien si es sólo el concepto de «verdad» matemática el que es absoluto. No he querido plantear aquí estas distinciones. A mi modo de ver, el carácter absoluto de la verdad matemática y la existencia platónica de los conceptos matemáticos son esencialmente la misma cosa. La «existencia» que debe atribuirse al conjunto de Mandelbrot, por ejemplo, es una característica de su naturaleza «absoluta». El que un punto del plano de Argand pertenezca o no al conjunto de Mandelbrot es una cuestión absoluta, independiente de qué matemático, o qué computador, lo esté examinando. Es la «independencia-del-matemático» del conjunto de Mandelbrot lo que le confiere su existencia platónica. Además, sus detalles más finos quedan fuera de lo que nos es accesible mediante el uso de computadores. Estos dispositivos sólo pueden darnos aproximaciones a una estructura que tiene en sí misma una existencia más profunda e «independiente-del-computador». Reconozco, sin embargo, que puede haber muchos otros puntos de vista que se puedan mantener razonablemente a propósito de esta cuestión. No tenemos aquí que preocuparnos mucho por estas diferencias.

Hay también diferencias de punto de vista sobre hasta qué extremo estamos dispuestos a llevar nuestro platonismo -si realmente uno afirma ser un platónico. El propio Gödel era un gran platónico. Los tipos de enunciados matemáticos que he estado considerando hasta ahora son más bien «tibios» tal como van las cosas. Pueden surgir enunciados mucho más controvertidos, particularmente en la teoría de conjuntos. Cuando se consideran todas las ramificaciones de la teoría de conjuntos se tropieza con conjuntos tan desmesuradamente enormes, y construidos de manera tan vaga, que incluso un decidido platónico como yo mismo puede honestamente empezar a dudar que su existencia, o inexistencia, sea realmente algo «absoluto». Puede llegar un momento en que los conjuntos tengan una definición tan intrincada y conceptualmente dudosa que la cuestión de la verdad o falsedad de enunciados matemáticos relativos a ellos pueda empezar a adquirir algo de la cualidad de «cuestión de opinión» en lugar de la de «infusa». El que uno esté preparado para llevar el platonismo hasta el final, junto con Gödel, y exigir que la verdad o falsedad de los enunciados matemáticos relativos a tan enormes conjuntos sea siempre algo «absoluto» o platónico, o bien se detenga en algún punto anterior y exija una verdad o falsedad absoluta sólo cuando los conjuntos son razonablemente constructivos y no tan desmesuradamente enormes, no es un asunto que tenga aquí gran relevancia para nuestra discusión. Los conjuntos (finitos o infinitos) que tendrán importancia para nosotros son ridículamente minúsculos comparados con aquellos a los que me acabo de referir. Por ello las diferencias entre estas diversas visiones platónicas no nos afectan grandemente.[...]

En cierto sentido, esto no estaba tan alejado del punto de vista adoptado por Platón (c. 360 a.C.; esto es, unos cincuenta años antes de los Elementos de Euclides, el famoso libro sobre geometría). En opinión de Platón, los objetos de la geometría pura –líneas rectas, círculos, triángulos, planos, etc.– sólo se realizaban aproximadamente en el mundo de las cosas físicas reales. Los objetos matemáticamente precisos de la geometría pura no poblaban este mundo físico sino un mundo diferente: el mundo ideal de Platón de los conceptos matemáticos. El mundo de Platón consta no sólo de objetos tangibles sino de «objetos matemáticos». Este mundo no nos es accesible del modo físico ordinario sino por la vía del intelecto. Nuestra mente entra en contacto con el mundo de Platón cada vez que contempla una verdad matemática, percibiéndola mediante el ejercicio de razonamiento e intuición matemática. El mundo ideal se consideraba diferente y más perfecto que el mundo material de nuestra experiencia externa, pero tan real como éste. [...]. Así, mientras que los objetos de la geometría euclídea pura pueden ser estudiados por el pensamiento, y pueden derivarse de este modo muchas propiedades de este ideal, no hay necesidad de que el «imperfecto» mundo físico de la experiencia externa se adhiera exactamente a este ideal. Por alguna milagrosa intuición, y sobre la base de lo que debió haber sido una evidencia muy dispersa en ese tiempo, Platón parece haber anticipado esto: por una parte, las matemáticas deben ser estudiadas y comprendidas por sí mismas, y no debemos pedir una aplicabilidad completamente exacta a los objetos de la experiencia física; por otra parte, el funcionamiento del mundo externo real puede ser entendido finalmente sólo en términos de matemáticas exactas, lo que, en términos del mundo ideal de Platón, quiere decir «accesible por la vía del intelecto».