Cita de Ruyer 1/es

La principal ventaja de estos sistemas «de la primera generación» [,,,], es la simplicidad de reglas de derivación, reducidas a dos:

a) regla de separación (o modus ponens, nombre de una variante del silogismo hipotético):

b) regla de sustitución en los axiomas y teoremas.

Esta ventaja tiene como contrapartida el carácter artificial de la construcción, que aparece ya en la elección de los axiomas, y el carácter tedioso y pesado de las demostraciones.

Así, el sistema de Frege (modificado por Lukasiewicz) supone tres axiomas, construidos sólo con los operadores [math]\displaystyle{ \rightarrow, ¬, [...] }[/math].

1) [math]\displaystyle{ \vdash (p\rightarrow (q\rightarrow p)) }[/math]
2) [math]\displaystyle{ \vdash (p\rightarrow (q\rightarrow r))\rightarrow((p\rightarrow q)\rightarrow(p\rightarrow r)) }[/math]
3) [math]\displaystyle{ \vdash (¬p\rightarrow ¬q) \rightarrow (q\rightarrow p) }[/math]

Se puede demostrar que la fórmula
[math]\displaystyle{ (p\rightarrow p) }[/math]

que parecer expresar una verdad lógica más fundamental que cada uno de los tres axiomas, es en realidad un teorema, obtenido por demostración: al sustituir en el axioma 2,
[math]\displaystyle{ q }[/math] por [math]\displaystyle{ (p\rightarrow p) }[/math] y [math]\displaystyle{ r }[/math] por [math]\displaystyle{ p }[/math]

se obtiene una fórmula cuya forma es el axioma 1:

axioma 1 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math](axioma 1 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math][math]\displaystyle{ (p\rightarrow p) }[/math]

dos aplicaciones de la regla de separación permiten obtener
[math]\displaystyle{ (p\rightarrow p) }[/math]