Cita de Ruyer 1

El principal avantatge d'aquests sistemes «de la primera generació» [,,,], és la simplicitat de regles de derivació, reduïdes a dues:

a) regla de separació (o modus ponens, nom d'una variant del sil·logisme hipotètic):

b) regla de substitució en els axiomes i teoremes.

Aquest avantatge té com a contrapartida el caràcter artificial de la construcció, que apareix ja en l'elecció dels axiomes, i el caràcter tediós i pesat de les demostracions.

Així, el sistema de Frege (modificat per Lukasiewicz) suposa tres axiomes, construïts només amb els operadors [math]\displaystyle{ \rightarrow, ¬, [...] }[/math].

1) [math]\displaystyle{ \vdash (p\rightarrow (q\rightarrow p)) }[/math]
2) [math]\displaystyle{ \vdash (p\rightarrow (q\rightarrow r))\rightarrow((p\rightarrow q)\rightarrow(p\rightarrow r)) }[/math]
3) [math]\displaystyle{ \vdash (¬p\rightarrow ¬q) \rightarrow (q\rightarrow p) }[/math]

Es pot demostrar que la fórmula
[math]\displaystyle{ (p\rightarrow p) }[/math]

que semblar expressar una veritat lògica més fonamental que cadascun dels tres axiomes, és en realitat un teorema, obtingut per demostració: en substituir en l'axioma 2,
[math]\displaystyle{ q }[/math] per [math]\displaystyle{ (p\rightarrow p) }[/math] i [math]\displaystyle{ r }[/math] per [math]\displaystyle{ p }[/math]

s'obté una fórmula la forma de la qual és l'axioma 1:

axioma 1 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math](axioma 1 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math][math]\displaystyle{ (p\rightarrow p) }[/math]

dues aplicacions de la regla de separació permeten obtenir
[math]\displaystyle{ (p\rightarrow p) }[/math]

P. B. Ruyer, Logique, Presses Universitaires de France, 1994, 2ª ed., p. 81.

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Original en castellà

La principal ventaja de estos sistemas «de la primera generación» [,,,], es la simplicidad de reglas de derivación, reducidas a dos:

a) regla de separación (o modus ponens, nombre de una variante del silogismo hipotético):

b) regla de sustitución en los axiomas y teoremas.

Esta ventaja tiene como contrapartida el carácter artificial de la construcción, que aparece ya en la elección de los axiomas, y el carácter tedioso y pesado de las demostraciones.

Así, el sistema de Frege (modificado por Lukasiewicz) supone tres axiomas, construidos sólo con los operadores [math]\displaystyle{ \rightarrow, ¬, [...] }[/math].

1) [math]\displaystyle{ \vdash (p\rightarrow (q\rightarrow p)) }[/math]
2) [math]\displaystyle{ \vdash (p\rightarrow (q\rightarrow r))\rightarrow((p\rightarrow q)\rightarrow(p\rightarrow r)) }[/math]
3) [math]\displaystyle{ \vdash (¬p\rightarrow ¬q) \rightarrow (q\rightarrow p) }[/math]

Se puede demostrar que la fórmula
[math]\displaystyle{ (p\rightarrow p) }[/math]

que parecer expresar una verdad lógica más fundamental que cada uno de los tres axiomas, es en realidad un teorema, obtenido por demostración: al sustituir en el axioma 2,
[math]\displaystyle{ q }[/math] por [math]\displaystyle{ (p\rightarrow p) }[/math] y [math]\displaystyle{ r }[/math] por [math]\displaystyle{ p }[/math]

se obtiene una fórmula cuya forma es el axioma 1:

axioma 1 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math](axioma 1 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math][math]\displaystyle{ (p\rightarrow p) }[/math]

dos aplicaciones de la regla de separación permiten obtener
[math]\displaystyle{ (p\rightarrow p) }[/math]