Àlgebra de Boole

Càlcul lògic, inventat per Georg Boole per la lògica d'enunciats i la lògica de classes, que constitueix el precedent i el fonament de la lògica moderna o lògica matemàtica. Boole considera que els enunciats poden expressar-se com a equacions simples i els raonaments com un sistema d'equacions. Els enunciats categòrics de tipus A, I, I i O es reescriuen en aquesta àlgebra com:

[math]\displaystyle{ A: Tot X és Y : x(1-y)= 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ E: Cap X és Y : xy= 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ I: Algun X és Y : xy\neq 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ I: Algun X no és Y : x(1-y)\neq 0 }[/math]

on l'expressió (1y) és la classe complement de y, o bé . Els enunciats universals s'expressen com a equacions i els particulars com a inequacions. Els elements d'aquesta àlgebra són les classes, o els conceptes presos extensionalment.

---

«Expressar la proposició: Tots els X són Y. Ja que tots els X que existeixen es troben en la classe Y, és obvi que seleccionar de l'univers tots els Y, i d'entre aquestos seleccionar tots els X, és el mateix que seleccionar de tot l'univers tots els X. Per tant, xy = x, o x(1-y) = 0

[...] La classe X i la classe no-X unides composen l'univers

[...] Però l'univers és 1 i la classe X està determinada pel símbol x, per tant la classe no-X estarà determinada pel símbol 1- x [...] ja que el producte propi xy expressa la classe sencera els membres de la qual són tant X com Y, el símbol y(1-x), representarà la classe els membres de la qual són Y però no X »

G. Boole, The Mathematical Analysis of Logic, Vambridege, 1847