Russell, Bertrand: la teoria de tipus/es

Sin entrar en difíciles detalles técnicos, es posible explicar los principios generales de la teoría de los tipos. Quizá el mejor camino para llegar a la teoría es el examen de lo que significa «clase». Comencemos con un ejemplo casero. Suponed, al final de la comida, que vuestro anfitrión os ofrece una selección de tres dulces distintos, pidiéndoos que toméis uno, o dos, o los tres, como queráis. ¿Cuántas vías de conducta se abren ante vosotros? Podéis rehusar los tres. Esto es una elección. Podéis tomar uno de ellos. Esto es posible en tres formas distintas, y, por tanto, nos ofrece tres elecciones más. Podéis tomar dos de ellos. Esto es posible, de nuevo de tres modos diferentes, O podéis tomar los tres, lo que nos da una última posibilidad. El número total de posibilidades es, así, ocho; esto es, . Es fácil generalizar este procedimiento. Suponed que tenéis n objetos ante vosotros y que queréis saber cuántos modos existen de elegir ninguno, algunos o todos los n objetos. Hallaréis que el número de modos es . Para decirlo en lenguaje lógico: una clase de n términos tiene subclases. Esta proposición es verdadera aun cuando n sea infinito. Lo que Cantor demostró es que, aun en este caso, es mayor que n. Aplicando esto, como yo hice, a todas las cosas del universo, se llega a la conclusión de que existen más clases de cosas que cosas. Se sigue que las clases no son «cosas». Pero, como nadie sabe con certeza lo que en esta frase significa la palabra «cosa», no es muy fácil enunciar con exactitud qué es lo que se ha demostrado. La conclusión a la que llegué es que las clases son meramente conveniencias del discurso. Ya estaba un tanto aturdido por el tema de las clases en la época en que escribí Los principios de la matemática. Sin embargo, en aquellos días me expresé en lenguaje más realista (en el sentido escolástico) de lo que ahora estimaría apropiado. [...]

Ahora expresaría el tema en forma algo distinta. Diría que, dada cualquier función proposicional, digamos fx, existe cierto rango de valores de x para los cuales esta función es «significativa» -sea verdadera o falsa. Si a está en el rango, fa es una proposición verdadera o falsa. Además de sustituir la variable x por una constante, pueden hacerse otras dos cosas con una función proposicional: una es afirmar que siempre es verdadera; la otra, decir que algunas veces es verdadera. La función proposicional «si x es humano, x es mortal», siempre es verdadera; la función proposicional «x es humano» es verdadera a veces. Hay, pues, tres cosas que pueden hacerse con una función proposicional: la primera es sustituir la variable por una constante; la segunda es afirmar todos los valores de la función, y la tercera es afirmar algunos valores o al menos uno de los valores. La función proposicional en sí misma no es más que una expresión. No afirma ni niega nada. Una clase, del mismo modo, es tan sólo una expresión. Es un modo conveniente de hablar acerca de los valores de la variable para los que la función es verdadera.

En cuanto al tercero de los requisitos que había de reunir la solución, insinué una teoría que no parece haber sido bien acogida por otros lógicos, pero que todavía me parece válida. Esta teoría era como sigue: cuando afirmo todos los valores de una función fx, los valores que x puede tomar deben ser definidos, si lo que estoy afirmando ha de ser definido. Es decir, que ha de haber un determinado total de posibles valores de x. Si ahora creo nuevos valores definidos en términos de este total, dicho total aparece por ello aumentado y, en consecuencia, los nuevos valores que a él se refieren se referirán a ese total aumentado. Pero puesto que han de ser incluidos en la totalidad, nunca puedo alcanzarlos. El procedimiento es cómo tratar de saltar sobre la sombra de la propia cabeza. Podemos dar un ejemplo sencillo de esto con la paradoja del mentiroso. El embustero dice: «Todo lo que afirmo es falso». Esta es, en realidad, una afirmación que él hace, pero se refiere a la totalidad de sus afirmaciones, y solamente si incluimos esta afirmación en la totalidad resulta la paradoja. Tendremos que distinguir entre proposiciones que se refieren a un determinado total de proposiciones, y proposiciones que no lo hacen. Las que se refieren a una totalidad de proposiciones nunca pueden ser miembros de tal totalidad. Podemos definir como proposiciones de primer orden las que no se refieren a una totalidad de proposiciones; proposiciones de segundo orden, a las que se refieren a totalidades de proposiciones de primer orden, y así sucesivamente ad infinitum. De este modo, nuestro mentiroso habrá de decir ahora: «Estoy afirmando una falsa proposición de primer orden que es falsa». Pero esto es en sí una proposición de segundo orden. Y así, no está afirmando una proposición de primer orden. Lo que dice es así simplemente falso, y se viene abajo el argumento de que también es cierto. Exactamente el mismo razonamiento se aplica a cualquier proposición de orden superior.