Penrose: platonisme matemàtic

És la matemàtica invenció o descobriment? Quan els matemàtics obtenen els seus resultats estan produint solament elaborades construccions mentals que no tenen autèntica realitat, però el poder i l'elegància de les quals basta simplement per a enganyar fins i tot els seus inventors fent-los creure que aquestes construccions mentals són «reals»? O estan descobrint realment veritats que estaven ja «aquí», veritats l'existència de les quals és independent de les activitats dels matemàtics? Crec que, ara com ara, ha de quedar molt clar per al lector que m'adhereixo al segon punt de vista, més que al primer, almenys respecte a estructures com els nombres complexos i el conjunt de Mandelbrot.

Però potser la qüestió no sigui tan senzilla com això. Com ja he dit, hi ha coses en les matemàtiques, com ara els exemples que acabo de citar, per les quals el terme «descobriment» és molt més apropiat que «invenció». Existeixen els casos en què surt de l'estructura molt més del que es va introduir al principi. Podríem adoptar el punt de vista que en tals casos els matemàtics han ensopegat amb «obres de Déu». No obstant això, existeixen altres casos en els quals l'estructura matemàtica no té aquesta compulsiva unicitat; per exemple, quan enmig de la demostració d'algun resultat el matemàtic troba necessari introduir alguna construcció artificial, i de cap manera única, per a aconseguir alguna fi molt específica. En tals casos, no és probable que s'obtingui res més de la construcció que el que es va posar al principi, i la paraula «invenció» sembla més apropiada que «descobriment». Aquestes són «obres de l'home». Des d'aquest punt de vista, els autèntics descobriments matemàtics serien considerats, de forma general, com a conseqüències o aspiracions més altes que el que serien les «meres» invencions.

Tals classificacions no són molt diferents de les quals podríem utilitzar en les arts o l'enginyeria. Les grans obres d'art estan «més prop de Déu» que les obres menors. És un sentir no poc comú entre artistes el que en les seves obres més grans estan revelant veritats eternes que tenen algun tipus d'existència etèria prèvia *, mentre que les seves obres menors podrien ser més arbitràries, de la naturalesa de les meres construccions mortals. De manera anàloga, una innovació de bella senzillesa en enginyeria, amb la qual obre una enorme perspectiva per a l'aplicació d'alguna idea simple i inesperada, podria ser descrita amb propietat com un descobriment més que una invenció.

No obstant això, després de fer aquests comentaris no puc evitar el sentiment que, en el cas de les matemàtiques, la creença en algun tipus d'existència etèria i eterna, almenys per als conceptes més profundament matemàtics, és molt més fort que en els altres casos. Hi ha en tals idees matemàtiques una compulsiva unicitat i universalitat que semblen ser d'un ordre diferent del que es pogués esperar en les arts o l'enginyeria. El punt de vista que els conceptes matemàtics podrien existir en aquest sentit eteri i intemporal va ser plantejat en temps antics (c. 360 aC) pel gran filòsof grec Plató. En conseqüència, aquest punt de vista és qualificat de vegades de platonisme matemàtic. Tindrà gran importància per a nosaltres més tard. [...]

La noció de veritat matemàtica va més enllà del concepte global de formalisme. Hi ha alguna cosa absoluta i «infusa» en la veritat matemàtica. D'això tracta el platonisme matemàtic, com es va discutir al final de l'últim capítol. Qualsevol sistema formal concret té una qualitat provisional i «de factura humana». Tals sistemes poden exercir papers molt valuosos en les discussions matemàtiques, però només poden proporcionar una guia parcial (o aproximada) a la veritat. La veritat matemàtica real va més enllà de les simples construccions humanes.[...]

He assenyalat dues escoles contràries de filosofia matemàtica, que s'inclinen fortament cap al platonisme abans que cap al punt de vista formalista. En realitat he estat bastant simplista en les meves distincions i poden fer-se moltes matisacions. Per exemple, es pot argumentar sota l'encapçalament de platonisme bé tinguin els objectes del pensament matemàtic algun tipus d'«existència» real o bé si és només el concepte de «veritat» matemàtica el que és absolut. No he volgut plantejar aquí aquestes distincions. A la meva manera de veure, el caràcter absolut de la veritat matemàtica i l'existència platònica dels conceptes matemàtics són essencialment la mateixa cosa. L'«existència» que ha d'atribuir-se al conjunt de Mandelbrot, per exemple, és una característica de la seva naturalesa «absoluta». El que un punt del pla d'Argand pertanyi o no al conjunt de Mandelbrot és una qüestió absoluta, independent de quin matemàtic, o quin computador, l'estigui examinant. És la «independència-del-matemàtic» del conjunt de Mandelbrot el que li confereix la seva existència platònica. A més, els seus detalls més fins queden fora del que ens és accessible mitjançant l'ús de computadors. Aquests dispositius només poden donar-nos aproximacions a una estructura que té en si mateixa una existència més profunda i «independent-del-computador». Reconec, no obstant això, que pot haver-hi molts altres punts de vista que es puguin mantenir raonablement a propòsit d'aquesta qüestió. No tenim aquí que preocupar-nos molt per aquestes diferències.

Hi ha també diferències de punt de vista sobre fins a quin extrem estem disposats a portar el nostre platonisme -si realment un afirma ser un platònic. El mateix Gödel era un gran platònic. Els tipus d'enunciats matemàtics que he estat considerant fins ara són més aviat «tebis» tal com van les coses. Poden sorgir enunciats molt més controvertits, particularment en la teoria de conjunts. Quan es consideren totes les ramificacions de la teoria de conjunts s'ensopega amb conjunts tan desmesuradament enormes, i construïts de manera tan vaga, que fins i tot un decidit platònic com jo mateix pot honestament començar a dubtar que la seva existència, o inexistència, sigui realment alguna cosa «absoluta». Pot arribar un moment en què els conjunts tinguin una definició tan intricada i conceptualment dubtosa que la qüestió de la veritat o falsedat d'enunciats matemàtics relatius a ells pugui començar a adquirir una mica de la qualitat de «qüestió d'opinió» en lloc de la d'«infusa». El que un estigui preparat per a portar el platonisme fins al final, juntament amb Gödel, i exigir que la veritat o falsedat dels enunciats matemàtics relatius a tan enormes conjunts sigui sempre alguna cosa «absoluta» o platònica, o bé es detingui en algun punt anterior i exigeixi una veritat o falsedat absoluta només quan els conjunts són raonablement constructius i no tan desmesuradament enormes, no és un assumpte que tingui aquí gran rellevància per a la nostra discussió. Els conjunts (finits o infinits) que tindran importància per a nosaltres són ridículament minúsculs comparats amb aquells als quals m'acabo de referir. Per això les diferències entre aquestes diverses visions platòniques no ens afecten granment.[...]

En cert sentit, això no estava tan allunyat del punt de vista adoptat per Plató (c. 360 aC; això és, uns cinquanta anys abans dels Elements d'Euclides, el famós llibre sobre geometria). En opinió de Plató, els objectes de la geometria pura –línies rectes, cercles, triangles, plans, etc.– només es realitzaven aproximadament al món de les coses físiques reals. Els objectes matemàticament precisos de la geometria pura no poblaven aquest món físic sinó un món diferent: el món ideal de Plató dels conceptes matemàtics. El món de Plató consta no només d'objectes tangibles sinó d'«objectes matemàtics». Aquest món no ens és accessible de la manera física ordinària sinó per la via de l'intel·lecte. La nostra ment entra en contacte amb el món de Plató cada vegada que contempla una veritat matemàtica, percebent-la mitjançant l'exercici de raonament i intuïció matemàtica. El món ideal es considerava diferent i més perfecte que el món material de la nostra experiència externa, però tan real com aquest. [...]. Així, mentre que els objectes de la geometria euclidiana pura poden ser estudiats pel pensament, i poden derivar-se d'aquesta manera moltes propietats d'aquest ideal, no hi ha necessitat que l'«imperfecte» món físic de l'experiència externa s'adhereixi exactament a aquest ideal. Per alguna miraculosa intuïció, i sobre la base del que va haver d'haver estat una evidència molt dispersa en aquest temps, Plató sembla haver anticipat això: d'una banda, les matemàtiques han de ser estudiades i compreses per si mateixes, i no hem de demanar una aplicabilitat completament exacta als objectes de l'experiència física; d'altra banda, el funcionament del món extern real pot ser entès finalment només en termes de matemàtiques exactes, la qual cosa, en termes del món ideal de Plató, vol dir «accessible per la via de l'intel·lecte».

La nueva mente del emperador, Mondadori, Madrid 1991, p. 134-207.

---

Original en castellà

¿Es la matemática invención o descubrimiento? Cuando los matemáticos obtienen sus resultados ¿están produciendo solamente elaboradas construcciones mentales que no tienen auténtica realidad, pero cuyo poder y elegancia basta simplemente para engañar incluso a sus inventores haciéndoles creer que estas construcciones mentales son «reales»? ¿O están descubriendo realmente verdades que estaban ya «ahí», verdades cuya existencia es independiente de las actividades de los matemáticos? Creo que, por ahora, debe quedar muy claro para el lector que me adhiero al segundo punto de vista, más que al primero, al menos con respecto a estructuras como los números complejos y el conjunto de Mandelbrot.

Pero quizá la cuestión no sea tan sencilla como esto. Como ya he dicho, hay cosas en las matemáticas, tales como los ejemplos que acabo de citar, para las que el término «descubrimiento» es mucho más apropiado que «invención». Existen los casos en que sale de la estructura mucho más de lo que se introdujo al principio. Podríamos adoptar el punto de vista de que en tales casos los matemáticos han tropezado con «obras de Dios». Sin embargo, existen otros casos en los que la estructura matemática no tiene esa compulsiva unicidad; por ejemplo, cuando en medio de la demostración de algún resultado el matemático encuentra necesario introducir alguna construcción artificial, y de ningún modo única, para conseguir algún fin muy específico. En tales casos, no es probable que se obtenga nada más de la construcción que lo que se puso al principio, y la palabra «invención» parece más apropiada que «descubrimiento». Éstas son «obras del hombre». Desde este punto de vista, los auténticos descubrimientos matemáticos serían considerados, de forma general, como consecuencias o aspiraciones más altas que lo que serían las «meras» invenciones.

Tales clasificaciones no son muy diferentes de las que podríamos utilizar en las artes o la ingeniería. Las grandes obras de arte están «más cerca de Dios» que las obras menores. Es un sentir no poco común entre artistas el que en sus obras más grandes están revelando verdades eternas que tienen algún tipo de existencia etérea previa *, mientras que sus obras menores podrían ser más arbitrarias, de la naturaleza de las meras construcciones mortales. De modo análogo, una innovación de bella sencillez en ingeniería, con la que abre una enorme perspectiva para la aplicación de alguna idea simple e inesperada, podría ser descrita con propiedad como un descubrimiento más que una invención.

No obstante, después de hacer estos comentarios no puedo evitar el sentimiento de que, en el caso de las matemáticas, la creencia en algún tipo de existencia etérea y eterna, al menos para los conceptos más profundamente matemáticos, es mucho más fuerte que en los otros casos. Hay en tales ideas matemáticas una compulsiva unicidad y universalidad que parecen ser de un orden diferente del que se pudiera esperar en las artes o la ingeniería. El punto de vista de que los conceptos matemáticos podrían existir en ese sentido etéreo e intemporal fue planteado en tiempos antiguos (c. 360 a.C.) por el gran filósofo griego Platón. En consecuencia, este punto de vista es calificado a veces de platonismo matemático. Tendrá gran importancia para nosotros más tarde. [...]

La noción de verdad matemática va más allá del concepto global de formalismo. Hay algo absoluto e «infuso» en la verdad matemática. De esto trata el platonismo matemático, como se discutió al final del último capítulo. Cualquier sistema formal concreto tiene una cualidad provisional y «de factura humana». Tales sistemas pueden desempeñar papeles muy valiosos en las discusiones matemáticas, pero sólo pueden proporcionar una guía parcial (o aproximada) a la verdad. La verdad matemática real va más allá de las simples construcciones humanas.[...]

He señalado dos escuelas contrarias de filosofía matemática, que se inclinan fuertemente hacia el platonismo antes que hacia el punto de vista formalista. En realidad he sido bastante simplista en mis distinciones y pueden hacerse muchas matizaciones. Por ejemplo, se puede argumentar bajo el encabezamiento de platonismo bien tengan los objetos del pensamiento matemático algún tipo de «existencia» real o bien si es sólo el concepto de «verdad» matemática el que es absoluto. No he querido plantear aquí estas distinciones. A mi modo de ver, el carácter absoluto de la verdad matemática y la existencia platónica de los conceptos matemáticos son esencialmente la misma cosa. La «existencia» que debe atribuirse al conjunto de Mandelbrot, por ejemplo, es una característica de su naturaleza «absoluta». El que un punto del plano de Argand pertenezca o no al conjunto de Mandelbrot es una cuestión absoluta, independiente de qué matemático, o qué computador, lo esté examinando. Es la «independencia-del-matemático» del conjunto de Mandelbrot lo que le confiere su existencia platónica. Además, sus detalles más finos quedan fuera de lo que nos es accesible mediante el uso de computadores. Estos dispositivos sólo pueden darnos aproximaciones a una estructura que tiene en sí misma una existencia más profunda e «independiente-del-computador». Reconozco, sin embargo, que puede haber muchos otros puntos de vista que se puedan mantener razonablemente a propósito de esta cuestión. No tenemos aquí que preocuparnos mucho por estas diferencias.

Hay también diferencias de punto de vista sobre hasta qué extremo estamos dispuestos a llevar nuestro platonismo -si realmente uno afirma ser un platónico. El propio Gödel era un gran platónico. Los tipos de enunciados matemáticos que he estado considerando hasta ahora son más bien «tibios» tal como van las cosas. Pueden surgir enunciados mucho más controvertidos, particularmente en la teoría de conjuntos. Cuando se consideran todas las ramificaciones de la teoría de conjuntos se tropieza con conjuntos tan desmesuradamente enormes, y construidos de manera tan vaga, que incluso un decidido platónico como yo mismo puede honestamente empezar a dudar que su existencia, o inexistencia, sea realmente algo «absoluto». Puede llegar un momento en que los conjuntos tengan una definición tan intrincada y conceptualmente dudosa que la cuestión de la verdad o falsedad de enunciados matemáticos relativos a ellos pueda empezar a adquirir algo de la cualidad de «cuestión de opinión» en lugar de la de «infusa». El que uno esté preparado para llevar el platonismo hasta el final, junto con Gödel, y exigir que la verdad o falsedad de los enunciados matemáticos relativos a tan enormes conjuntos sea siempre algo «absoluto» o platónico, o bien se detenga en algún punto anterior y exija una verdad o falsedad absoluta sólo cuando los conjuntos son razonablemente constructivos y no tan desmesuradamente enormes, no es un asunto que tenga aquí gran relevancia para nuestra discusión. Los conjuntos (finitos o infinitos) que tendrán importancia para nosotros son ridículamente minúsculos comparados con aquellos a los que me acabo de referir. Por ello las diferencias entre estas diversas visiones platónicas no nos afectan grandemente.[...]

En cierto sentido, esto no estaba tan alejado del punto de vista adoptado por Platón (c. 360 a.C.; esto es, unos cincuenta años antes de los Elementos de Euclides, el famoso libro sobre geometría). En opinión de Platón, los objetos de la geometría pura –líneas rectas, círculos, triángulos, planos, etc.– sólo se realizaban aproximadamente en el mundo de las cosas físicas reales. Los objetos matemáticamente precisos de la geometría pura no poblaban este mundo físico sino un mundo diferente: el mundo ideal de Platón de los conceptos matemáticos. El mundo de Platón consta no sólo de objetos tangibles sino de «objetos matemáticos». Este mundo no nos es accesible del modo físico ordinario sino por la vía del intelecto. Nuestra mente entra en contacto con el mundo de Platón cada vez que contempla una verdad matemática, percibiéndola mediante el ejercicio de razonamiento e intuición matemática. El mundo ideal se consideraba diferente y más perfecto que el mundo material de nuestra experiencia externa, pero tan real como éste. [...]. Así, mientras que los objetos de la geometría euclídea pura pueden ser estudiados por el pensamiento, y pueden derivarse de este modo muchas propiedades de este ideal, no hay necesidad de que el «imperfecto» mundo físico de la experiencia externa se adhiera exactamente a este ideal. Por alguna milagrosa intuición, y sobre la base de lo que debió haber sido una evidencia muy dispersa en ese tiempo, Platón parece haber anticipado esto: por una parte, las matemáticas deben ser estudiadas y comprendidas por sí mismas, y no debemos pedir una aplicabilidad completamente exacta a los objetos de la experiencia física; por otra parte, el funcionamiento del mundo externo real puede ser entendido finalmente sólo en términos de matemáticas exactas, lo que, en términos del mundo ideal de Platón, quiere decir «accesible por la vía del intelecto».