Hilbert, David: axiomàtica/es

La geometría, lo mismo que la aritmética, no exige para su construcción lógica, más que un pequeño número de principios fundamentales simples. Estos principios fundamentales son los llamados axiomas de la geometría. La exposición de estos axiomas y su examen profundo es un problema que, desde Euclides, ha constituido el objeto de numerosas Memorias notables de la ciencia matemática. Este problema lleva al análisis lógico de nuestra intuición del espacio. La investigación que sigue es un nuevo ensayo, cuya finalidad es establecer la geometría sobre un sistema simple y completo de axiomas independientes y deducir de éstos los principales teoremas geométricos, de tal manera que el rol de los diversos grupos de axiomas y el alcance de las conclusiones que se sacan de los axiomas individuales se aclaren tanto como sea posible.

Capítulo Primero

Los cincos grupos de axiomas

§ 1

Los elementos de la geometría y los cincos grupos de axiomas

Convención. Concibamos tres diferentes sistemas de seres: a los seres del PRIMERsistema los llamaremos puntos y los designaremos A,B,C,..; a los seres del SEGUNDOsistema los llamaremos rectas y los designaremos por a, b, c,...; y a los seres del TERCER sistema los llamaremos planos y los designaremos por ?, ?, ?...; los puntos serán también llamados elementos de la geometría lineal; los puntos y las rectas, elementos de la geometría plana y los puntos, las rectas y los planos, elementos de la geometría del espacio o elementos del espacio.

Concibamos que los puntos, las rectas y planos tengan entre sí ciertas relaciones mutuas y designemos estas relaciones por palabras tales como: «están situados», «entre», «paralela», «congruente» y «continuo»; la descripción exacta y completa de estas relaciones tiene lugar por medio de los axiomas de la geometría.

Los axiomas de la geometría se dividen en cinco grupos. Cada uno de estos grupos, tomado individualmente, expresa ciertas verdades fundamentales de la misma categoría, que derivan de nuestra intuición.

Designaremos estos grupos como sigue:

I,1-7: axioma de asociación.

II, 1-5: axioma de distribución.

III: axioma de las paralelas (postulado de Euclides).

IV, 1-6: axiomas de congruencia.

V, : axioma de la continuidad (axioma de Arquímedes).