Text: postulats de Peano
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Postulats de Peano
P1. 0 és un nombre.
P2. El successor de qualsevol nombre és un nombre.
P3. Dos nombres no tenen mai el mateix successor.
P4. 0 no és successor de cap nombre.
P5. Si P és una propietat tal que: a) 0 té la propietat P, i b) sempre que un nombre n té la propietat P, llavors el successor de n té també la propietat P, llavors tot nombre té la propietat P.
L'últim postulat conté el principi d'inducció matemàtica, i il·lustra d'una manera molt òbvia l'establiment d'una «veritat» matemàtica per estipulació. La construcció de l'aritmètica elemental sobre aquesta base comença amb la definició dels diferents nombres naturals. 1 es defineix com el successor de 0, o breument, com 0; 2 com 1; 3 com 2, i així successivament. En virtut de P2 el procés pot continuar-se indefinidament; en virtut de P3 (en combinació amb P5) el procés no recondueix mai a un dels nombres ja definits abans: en virtut de P4, el procés no recondueix mai tampoc a 0.
| C.G. Hempel y otros, Matemática, verdad, realidad, Grijalbo, Barcelona 1969, p. 17-18. |
Original en castellà
Postulados de Peano
P1. 0 es un número.
P2. El sucesor de cualquier número es un número.
P3. Dos números no tienen nunca el mismo sucesor.
P4. 0 no es sucesor de ningún número.
P5. Si P es una propiedad tal que: a) 0 tiene la propiedad P, y b) siempre que un número n tiene la propiedad P, entonces el sucesor de n tiene también la propiedad P, entonces todo número tiene la propiedad P.
El último postulado contiene el principio de inducción matemática, e ilustra de una manera muy obvia el establecimiento de una «verdad» matemática por estipulación. La construcción de la aritmética elemental sobre esa base empieza con la definición de los distintos números naturales. 1 se define como el sucesor de 0, o brevemente, como 0; 2 como 1; 3 como 2, y así sucesivamente. En virtud de P2 el proceso puede continuarse indefinidamente; en virtud de P3 (en combinación con P5) el proceso no reconduce nunca a uno de los números ya definidos antes: en virtud de P4, el proceso no reconduce nunca tampoco a 0.