Quine: paradoxes/es

Existe la antigua paradoja de Epiménides, el cretense, quien afirmó que todos los cretenses eran mentirosos. Si decía verdad, él era un mentiroso. Parece que esta paradoja alcanzó la atención de san Pablo y que a éste se le escapó su alcance. En su Epístola a Tito, le avisaba: «Uno de ellos mismos, un profeta surgido de entre ellos, dijo: "Los cretenses son siempre mentirosos"».

En realidad la paradoja de Epiménides no está bien cortada. Hay algunos escapes. Tal vez algunos cretenses eran mentirosos, en particular Epiménides, y otros no lo eran. Tal vez Epiménides era un mentiroso que ocasionalmente decía la verdad. En cualquier caso de los dos, la contradicción desaparece. Se puede salvar algo de esta paradoja con una pequeña reparación, pero haremos mejor si nos pasamos a una formulación diferente y más simple, también antigua de la misma idea. Ésta es la paradoja del Pseudomenon, quien afirma simplemente: «yo estoy mintiendo». Incluso podemos dejar a un lado lo indirecto de una referencia personal y afirmar directamente de la sentencia: «esta sentencia es falsa». Aquí parecemos alcanzar la esencia irreductible de la antinomia: una sentencia que es verdadera si y sólo si es falsa. En un esfuerzo para aclarar esta antinomia se ha afirmado que la frase «esta sentencia», usada de esta forma, no se refiere a nada. Se afirma esto por la razón de que no podemos librarnos de esta frase proporcionando o formulando una sentencia a la cual se refiera. Porque, ¿a qué sentencia se refiere la frase? A la sentencia «esta sentencia es falsa». Si, por lo tanto, sustituimos la frase «esta sentencia» citando la sentencia a que se refiere, obtenemos: «"esta sentencia es falsa" es falsa». Pero la sentencia exterior entera atribuye falsedad no ya a sí misma, sino meramente a algo distinto de sí misma, y así no se engendra ninguna paradoja.

Sin embargo, si con tenacidad tratamos todavía de construir una sentencia que atribuya falsedad inequívocamente a sí misma, la podemos hacer de la siguiente manera: «"produce falsedad cuando se añade a su propia cita" produce falsedad cuando se añade a su propia cita». Esta sentencia especifica una cadena de 9 palabras y dice de esta cadena que, si la escribimos dos veces, con comillas alrededor de la primera de las dos veces, el resultado es falso. Pero ese resultado es un relato producido por la misma sentencia. La sentencia es verdadera si y sólo si es falsa y así tenemos nuestra antinomia.

Ésta es una antinomia genuina, al igual que la que se ha presentado acerca de «heterológico», o «falso acerca de sí mismo» siendo verdadera de sí misma. Pero mientras que las anteriores se referían a «verdadero acerca de» a través de la construcción «no verdadero de sí mismo», nuestra nueva paradoja se refiere meramente a «verdadero» a través de la construcción «falsedad» o «proposición no verdadera». Podemos evitar ambas antinomias y otras relacionadas con ellas dejando de usar «verdadero de» y «verdadero», y sus equivalentes y derivados, o al menos dejando de aplicar tales locuciones de verdad a adjetivos o sentencias que contengan ellas mismas tales locuciones de verdad.

Esta restricción puede ser algo ampliada admitiendo una jerarquía de locuciones de verdad, como ha sido sugerido en la obra de Bertrand Russell y del matemático polaco Alfred Tarski [...]. Las expresiones «verdadero», «verdadero acerca de», «falso», y otras relacionadas con ellas, pueden ser usadas con subíndices numéricos, «0», «1», «2», etc., subíndice que se escriben o se imaginan. Es decir,

Entonces podemos evitar las antinomias cuidando, cuando una locución de verdad (T) se aplica a una sentencia o a otra expresión (S), de que el subíndice en (T) sea superior a cualquier subíndice dentro de S. Las violaciones a esta restricción serían tratadas como sin sentido, o contra la gramática, más bien que como sentencias verdaderas o falsas. Por ejemplo, podríamos preguntarnos con sentido si los adjetivos «largo» y «breve» son

de sí mismos. Las respuestas son respectivamente no y sí. Pero no podemos hablar con sentido de la frase

Tendríamos que preguntarnos

y esto es cuestión que no conduce a ninguna antinomia. En cualquiera de las dos formas esta cuestión puede ser respondida con una negativa simple y sin peligro.

Este punto merece insistencia. Mientras que «largo» y «breve» son adjetivos que pueden aplicarse con sentido a sí mismos, falsamente en un caso y verdaderamente en otro, al contrario

son frases adjetivas que no pueden en absoluto ser aplicadas a sí mismas con sentido ni verdaderamente ni falsamente. Por tanto, la cuestión

tiene una respuesta negativa. La frase adjetiva

Consideremos ahora a continuación, en términos de subíndices, la versión anterior más perversa del pseudomenon. Para darle un sentido pleno, tenemos que introducir ahora subíndices en las dos apariciones de la palabra «falsedad», y en orden ascendente, de la siguiente manera:

Inmediatamente desaparece la paradoja. Esta sentencia es inequívocamente falsa. Lo que nos afirma es que una cierta forma descrita de palabras

Así la sentencia precedente, que decía que esta forma de palabras

Esto puede parecer un modo extraño de eliminar antinomias. Pero sería mucho más costoso el omitir la palabra «verdadero», y locuciones relacionadas con ella, de una vez por todas. A un coste intermedio se podrían meramente dejar de aplicar tales locuciones a expresiones que contengan tales locuciones. Cualquier otro método es menos económico que este método de los subíndices. Los subíndices nos capacitan para aplicar locuciones de verdad a expresiones conteniendo tales locuciones, si bien en una manera que desconcierta un poco por su diferencia con lo que estamos acostumbrados. Cada uno de estos artificios es desesperado. Cada uno es una separación artificial del uso natural y establecido. Tal es lo que causan las antinomias.