Piatelli-Palmarini: el teorema de Bayes/es

Puesto que la hemos mencionado ya demasiadas veces, no podemos dejar de explicar, aunque sea brevemente, en qué consiste esa famosa ley de Bayes. Hacía ya muchos siglos que el hombre había descubierto cómo contar, cómo calcular exactamente las superficies y pesar exactamente las mercancías, pero no fue hasta mediados del siglo XVIII cuando consiguió acabar con un enigma que, no obstante, debía haberle atormentado desde siempre: cómo calcular una probabilidad desconocida a partir de datos conocidos. ¿Cómo calcular el futuro, basándose en datos precisos que se refieren al pasado? [...]

En la experiencia de la vida diaria nos encontramos con que continuamente tenemos que tomar decisiones sobre la base de informaciones incompletas y tenemos que buscar después más datos a fin de corregir, o confirmar, nuestras decisiones. Un caso típico es aquel en que hay que prever razonablemente cierto desarrollo de acontecimientos que se producirá en el futuro y se intenta obtener la máxima información sobre los desarrollos más probables. El modelo más estudiado es el del científico que adelanta una hipótesis, realiza los experimentos y después decide hasta qué punto los resultados de estos experimentos confirman o desmienten su teoría. Se trata de calcular exactamente, no de hacer una estimación a ojo, hasta qué punto es probable que una teoría, o una hipótesis, sea verdadera, teniendo en cuenta todo lo que sabemos.Una aplicación inmediata, y socialmente muy importante, es la del médico que realiza pruebas para llegar a emitir un diagnóstico. También es bastante sencillo extender este modelo al caso del directivo que tiene que tomar ciertas decisiones y que recibe posteriores informaciones (prospecciones de mercado, inspecciones en las oficinas, indiscreciones de bolsa, etc.) sobre las que debe basar su decisión final. Como hemos visto antes, este tipo de cálculo racional debería penetrar también en la salas de los tribunales. Los ingredientes esenciales del proceso bayesiano de decisión racional son:

• a) Una serie de alternativas posibles (lo que los estadísticos llaman «estados de naturaleza»), que preceden a la aplicación de la decisión y a la recogida de los datos suplementarios;

• b) Las probabilidades asignadas a priori, es decir, antes de las comprobaciones y de los tests, a cada una de las alternativas posibles;

• c) El grado de fiabilidad y de capacidad predictiva de los distintos tests;

• d) Los resultados de los tests (o encuestas, o controles);

• e) Las probabilidades que hay que asignar a cada una de las alternativas posibles a posteriori, es decir, después de haber sabido el resultado de los tests, después de haber recogido datos suplementarios.

El teorema clásico de Bayes [...] afirma que las probabilidades que aparecen en e) se pueden calcular exactamente sobre la base de datos contenidos en a), b), c) y d). El individuo racional ideal es un individuo, pues, definido hoy en día como «bayesiano». Esto significa, dicho con palabras llanas, que el único modo racional posible de minimizar los riesgos y maximizar las expectativas de ganancias es adoptar la estrategia descrita por Bayes. Es como decir que debemos ser individuos bayesianos si queremos conseguir hacer solamente las elecciones que sean racionalmente más ventajosas. Existen hoy en día teoremas matemáticos que demuestran cómo y por qué la fórmula de Bayes es (por lo menos en abstracto y en condiciones ideales) la única capaz de hacer que determinadas elecciones probabilísticas sean enteramente racionales.

Un modo intuitivo para entender en qué consiste la estrategia bayesiana, la que deberemos adoptar, está expresado por el siguiente razonamiento (aproximativo, pero intuitivamente correcto):

Para cada estado de naturaleza, se empieza a obtener la probabilidad de que se produzca teniendo en cuenta el resultado del test (es decir, su probabilidad a posteriori) multiplicandola probabilidad de que se produzca en cualquier caso (por tanto, con o sin el test -las que habíamos denominado probabilidades a priori) por la fiabilidad intrínseca del test (o sea, por la probabilidad que el test otorga al estado de naturaleza que nos interesa, respecto a todos los otros estados de naturaleza posibles).

Evidentemente, existe una fórmula: la fórmula (o ley, o teorema) de Bayes. Para no asustar demasiado al lector que siente escasa simpatía por las fórmulas matemáticas, voy a ofrecer una versión semicoloquial.

La formulilla del canónigo Thomas Bayes

La probabilidad de que una hipótesis (concretamente, un diagnóstico) sea correcta, una vez efectuado el test, es igual a:

La probabilidad del resultado del test, dada la hipótesis [...], multiplicada por la probabilidad de la hipótesis «en absoluto» (es decir, independientemente del test), y dividida por la probabilidad del resultado del test «en absoluto» (es decir, independientemente de la hipótesis -o diagnóstico).

Nada más y nada menos.

He utilizado la expresión «en absoluto» para dar un toque de sensacionalismo a la formulilla, para aligerar la seriedad de la frase. Concretamente, estas probabilidades «en absoluto» son las que estamos dispuestos a asignar racionalmente al resultado del test en sí mismo y por sí mismo, sin prestar atención a nuestra hipótesis (o diagnóstico) y, respectivamente, a nuestra hipótesis (o diagnóstico), sin prestar atención al resultado del test.