Von Mises: evidència i matemàtiques

El resultat més conegut i, en molts aspectes, més important de les investigacions axiomàtiques és la invenció de les anomenades geometries no euclidianes. Sabem avui que Gauss posseïa la major part del coneixement essencial per a la seva construcció (en part des de 1792), però no es va atrevir a publicar-ho perquè temia la «cridòria dels beocios». Això mostrarà l'enèrgica que pot arribar a ser la influència d'opinions escolàstiques tradicionals, i el necessària que és una educació que promogui una visió lliure de prejudicis per al progrés de la ciència. La història de la geometria no euclidiana comença amb la publicació d'una obra del matemàtic rus Lobatschevski, cap a 1840. El punt essencial consisteix a establir el fet següent: eliminat el postulat euclidià de la paral·lela [...] i substituint-ho per qualsevol altra hipòtesi adequada, al mateix temps que es conserven tots els altres axiomes anteriors, és possible per mitjà de les regles corrents de deducció, derivar d'aquest nou conjunt d'axiomes una nova geometria. Un tal sistema geomètric no conté en si mateix cap contradicció, encara que contradiu certs teoremes de la geometria euclidiana. Aquest fet refuta l'opinió que els teoremes de geometria ensenyats a les nostres escoles s'imposen per les lleis del pensament i són veritats absolutament segures, independents de tota experiència. [...] L'estudi de l'axiomàtica geomètrica ha provat que pot construir-se una geometria consistent que no obeeix a l'axioma de la paral·lela i, per tant, no concorda amb la geometria euclidiana; així doncs, l'afirmació que la geometria corrent és lògicament inevitable, apodícticament certa, i independent de tota experiència, queda refutada.

Los postulados matemáticos y el entendimiento humano, en C.G. Hempel y otros, Matemática, verdad, realidad, ed. por J.R. Newman, Grijalbo, Barcelona 1974, p. 160-162.

---

Original en castellà

El resultado más conocido y, en muchos aspectos, más importante de las investigaciones axiomáticas es la invención de las llamadas geometrías no euclídeas. Sabemos hoy que Gauss poseía la mayor parte del conocimiento esencial para su construcción (en parte desde 1792), pero no se atrevió a publicarlo porque temía el «griterío de los beocios». Esto mostrará lo enérgica que puede llegar a ser la influencia de opiniones escolásticas tradicionales, y lo necesaria que es una educación que promueva una visión libre de prejuicios para el progreso de la ciencia. La historia de la geometría no euclídea empieza con la publicación de una obra del matemático ruso Lobatschevski, hacia 1840. El punto esencial consiste en establecer el hecho siguiente: eliminado el postulado euclídeo de la paralela [...] y sustituyéndolo por cualquier otra hipótesis adecuada, al mismo tiempo que se conservan todos los demás axiomas anteriores, es posible por medio de las reglas corrientes de deducción, derivar de este nuevo conjunto de axiomas una nueva geometría. Un tal sistema geométrico no contiene en sí mismo ninguna contradicción, aunque contradice ciertos teoremas de la geometría euclídea. Este hecho refuta la opinión de que los teoremas de geometría enseñados en nuestras escuelas se imponen por las leyes del pensamiento y son verdades absolutamente seguras, independientes de toda experiencia. [...] El estudio de la axiomática geométrica ha probado que puede construirse una geometría consistente que no obedece al axioma de la paralela y, por tanto, no concuerda con la geometría euclídea; así pues, la afirmación de que la geometría corriente es lógicamente inevitable, apodícticamente cierta, e independiente de toda experiencia, queda refutada.