Recurs:Russell, Bertrand: la teoria de tipus

Sense entrar en difícils detalls tècnics, és possible explicar els principis generals de la teoria dels tipus. Potser el millor camí per a arribar a la teoria és l'examen del que significa «classe». Comencem amb un exemple casolà. Suposeu, al final del menjar, que el vostre amfitrió us ofereix una selecció de tres dolços diferents, demanant-vos que prengueu un, o dos, o els tres, com vulgueu. Quantes vies de conducta s'obren davant vosaltres? Podeu refusar els tres. Això és una elecció. Podeu prendre un d'ells. Això és possible en tres formes diferents, i, per tant, ens ofereix tres eleccions més. Podeu prendre dos d'ells. Això és possible, de nou de tres maneres diferents, O podeu prendre els tres, la qual cosa ens dóna una última possibilitat. El nombre total de possibilitats és, així, vuit; això és, . És fàcil generalitzar aquest procediment. Suposeu que teniu n objectes davant vosaltres i que voleu saber quantes maneres hi ha de triar-ne cap, alguns o tots els n objectes. Trobareu que el nombre de maneres és . Per dir-ho en llenguatge lògic: una classe de n termes té subclasses. Aquesta proposició és veritable encara que n sigui infinit. El que Cantor va demostrar és que, àdhuc en aquest cas, és major que n. Aplicant això, com jo vaig fer, a totes les coses de l'univers, s'arriba a la conclusió que existeixen més classes de coses que coses. Se segueix que les classes no són «coses». Però, com ningú sap amb certesa el que en aquesta frase significa la paraula «cusi», no és molt fàcil enunciar amb exactitud què és el que s'ha demostrat. La conclusió a la qual vaig arribar és que les classes són merament conveniències del discurs. Ja estava una miqueta atordit pel tema de les classes en l'època en què vaig escriure Els principis de la matemàtica. No obstant això, en aquells dies em vaig expressar en llenguatge més realista (en el sentit escolàstic) del que ara estimaria apropiat. [...]

Ara expressaria el tema en forma alguna cosa diferent. Diria que, donada qualsevol funció proposicional, diguem fx, existeix cert rang de valors de x pels quals aquesta funció és «significativa» -sigui veritable o falsa. Si a està en el rang, fa és una proposició veritable o falsa. A més de substituir la variable x per una constant, poden fer-se altres dues coses amb una funció proposicional: una és afirmar que sempre és veritable; l'altra, dir que algunes vegades és veritable. La funció proposicional «si x és humà, x és mortal», sempre és veritable; la funció proposicional «x és humà» és veritable de vegades. Hi ha, doncs, tres coses que poden fer-se amb una funció proposicional: la primera és substituir la variable per una constant; la segona és afirmar tots els valors de la funció, i la tercera és afirmar alguns valors o almenys un dels valors. La funció proposicional en si mateixa no és més que una expressió. No afirma ni nega res. Una classe, de la mateixa manera, és tan sols una expressió. És una manera convenient de parlar sobre els valors de la variable pels quals la funció és veritable.

Quant al tercer dels requisits que havia de reunir la solució, vaig insinuar una teoria que no sembla haver estat bé acollida per altres lògics, però que encara em sembla vàlida. Aquesta teoria era com segueix: quan afirmo tots els valors d'una funció fx, els valors que x pot prendre han de ser definits, si el que estic afirmant ha de ser definit. És a dir, que ha d'haver-hi un determinat total de possibles valors de x. Si ara crec nous valors definits en termes d'aquest total, dit total apareix per això augmentat i, en conseqüència, els nous valors que a ell es refereixen es referiran a aquest total augmentat. Però ja que han de ser inclosos en la totalitat, mai puc aconseguir-los. El procediment és com tractar de saltar sobre l'ombra del propi cap. Podem donar un exemple senzill d'això amb la paradoxa del mentider. L'embustero diu: «Tot el que afirmo és fals». Aquesta és, en realitat, una afirmació que ell fa, però es refereix a la totalitat de les seves afirmacions, i solament si incloem aquesta afirmació en la totalitat resulta la paradoxa. Haurem de distingir entre proposicions que es refereixen a un determinat total de proposicions, i proposicions que no ho fan. Les que es refereixen a una totalitat de proposicions mai poden ser membres de tal totalitat. Podem definir com a proposicions de primer ordre les que no es refereixen a una totalitat de proposicions; proposicions de segon ordre, a les quals es refereixen a totalitats de proposicions de primer ordre, i així successivament ad infinitum. D'aquesta manera, el nostre mentider haurà de dir ara: «Estic afirmant una falsa proposició de primer ordre que és falsa». Però això és en si una proposició de segon ordre. I així, no està afirmant una proposició de primer ordre. El que diu és així simplement fals, i s'enfonsa l'argument que també és cert. Exactament el mateix raonament s'aplica a qualsevol proposició d'ordre superior.

La evolución de mi pensamiento filosófico, Alianza, Madrid, 1982 p. 81-84.

---

Original en castellà

Sin entrar en difíciles detalles técnicos, es posible explicar los principios generales de la teoría de los tipos. Quizá el mejor camino para llegar a la teoría es el examen de lo que significa «clase». Comencemos con un ejemplo casero. Suponed, al final de la comida, que vuestro anfitrión os ofrece una selección de tres dulces distintos, pidiéndoos que toméis uno, o dos, o los tres, como queráis. ¿Cuántas vías de conducta se abren ante vosotros? Podéis rehusar los tres. Esto es una elección. Podéis tomar uno de ellos. Esto es posible en tres formas distintas, y, por tanto, nos ofrece tres elecciones más. Podéis tomar dos de ellos. Esto es posible, de nuevo de tres modos diferentes, O podéis tomar los tres, lo que nos da una última posibilidad. El número total de posibilidades es, así, ocho; esto es, . Es fácil generalizar este procedimiento. Suponed que tenéis n objetos ante vosotros y que queréis saber cuántos modos existen de elegir ninguno, algunos o todos los n objetos. Hallaréis que el número de modos es . Para decirlo en lenguaje lógico: una clase de n términos tiene subclases. Esta proposición es verdadera aun cuando n sea infinito. Lo que Cantor demostró es que, aun en este caso, es mayor que n. Aplicando esto, como yo hice, a todas las cosas del universo, se llega a la conclusión de que existen más clases de cosas que cosas. Se sigue que las clases no son «cosas». Pero, como nadie sabe con certeza lo que en esta frase significa la palabra «cosa», no es muy fácil enunciar con exactitud qué es lo que se ha demostrado. La conclusión a la que llegué es que las clases son meramente conveniencias del discurso. Ya estaba un tanto aturdido por el tema de las clases en la época en que escribí Los principios de la matemática. Sin embargo, en aquellos días me expresé en lenguaje más realista (en el sentido escolástico) de lo que ahora estimaría apropiado. [...]

Ahora expresaría el tema en forma algo distinta. Diría que, dada cualquier función proposicional, digamos fx, existe cierto rango de valores de x para los cuales esta función es «significativa» -sea verdadera o falsa. Si a está en el rango, fa es una proposición verdadera o falsa. Además de sustituir la variable x por una constante, pueden hacerse otras dos cosas con una función proposicional: una es afirmar que siempre es verdadera; la otra, decir que algunas veces es verdadera. La función proposicional «si x es humano, x es mortal», siempre es verdadera; la función proposicional «x es humano» es verdadera a veces. Hay, pues, tres cosas que pueden hacerse con una función proposicional: la primera es sustituir la variable por una constante; la segunda es afirmar todos los valores de la función, y la tercera es afirmar algunos valores o al menos uno de los valores. La función proposicional en sí misma no es más que una expresión. No afirma ni niega nada. Una clase, del mismo modo, es tan sólo una expresión. Es un modo conveniente de hablar acerca de los valores de la variable para los que la función es verdadera.

En cuanto al tercero de los requisitos que había de reunir la solución, insinué una teoría que no parece haber sido bien acogida por otros lógicos, pero que todavía me parece válida. Esta teoría era como sigue: cuando afirmo todos los valores de una función fx, los valores que x puede tomar deben ser definidos, si lo que estoy afirmando ha de ser definido. Es decir, que ha de haber un determinado total de posibles valores de x. Si ahora creo nuevos valores definidos en términos de este total, dicho total aparece por ello aumentado y, en consecuencia, los nuevos valores que a él se refieren se referirán a ese total aumentado. Pero puesto que han de ser incluidos en la totalidad, nunca puedo alcanzarlos. El procedimiento es cómo tratar de saltar sobre la sombra de la propia cabeza. Podemos dar un ejemplo sencillo de esto con la paradoja del mentiroso. El embustero dice: «Todo lo que afirmo es falso». Esta es, en realidad, una afirmación que él hace, pero se refiere a la totalidad de sus afirmaciones, y solamente si incluimos esta afirmación en la totalidad resulta la paradoja. Tendremos que distinguir entre proposiciones que se refieren a un determinado total de proposiciones, y proposiciones que no lo hacen. Las que se refieren a una totalidad de proposiciones nunca pueden ser miembros de tal totalidad. Podemos definir como proposiciones de primer orden las que no se refieren a una totalidad de proposiciones; proposiciones de segundo orden, a las que se refieren a totalidades de proposiciones de primer orden, y así sucesivamente ad infinitum. De este modo, nuestro mentiroso habrá de decir ahora: «Estoy afirmando una falsa proposición de primer orden que es falsa». Pero esto es en sí una proposición de segundo orden. Y así, no está afirmando una proposición de primer orden. Lo que dice es así simplemente falso, y se viene abajo el argumento de que también es cierto. Exactamente el mismo razonamiento se aplica a cualquier proposición de orden superior.