Tipus lògics, teoria dels

Bertrand Russell

Teoria de B. Russell, construïda entre 1906 i 1908, i que formula en l'Apèndix B de les seves Principia Mathematica, per sortir al pas de les dificultats plantejades per les paradoxes semàntiques, especialment la mateixa paradoxa de Russell sobre «la classe de totes les classes que no són membres de si mateixes», paradigma de paradoxes, que descobreix en esbrinar que la noció de classe és en si problemàtica. Si una classe és una entitat i, per ser-ho, s'inclou en el conjunt de totes les coses, caiem en contradiccions: si una classe és una «cosa», «s'arriba a la conclusió que existeixen més classes de coses que coses» (veure exemple); per això, les classes no són «coses», sinó només una expressió, que pot emprar-se correctament o incorrectament: una funció proposicional (veure text).

La noció incorrecta de classe es posa de manifest quan s'analitza la noció de pertinença a la classe. Les classes comunament no són membres de si mateixes: la classe de les culleretes no és una cullereta, la classe dels homes no és un home (veure text ); però la classe de les coses que no són una cullereta no és tampoc una cullereta i la classe de totes les classes és també una classe. Hi ha classes, doncs, que són membres de si mateixes i classes que no són membres de si mateixes; i en considerar si la classe de totes les classes que no són membres de si mateixes és o no membre de si mateixa, apareix la contradicció de la noció de classes en tota la seva evidència: si ho és, no ho és i si no ho és, ho és (veure paradoxa de Russell).

En intentar trobar solució a aquest conflicte, que, a dir de Frege, posava en perill tots els fonaments de la matemàtica (veure text 1 i text 2), Russell crea la seva teoria de tipus, que en la seva forma més senzilla afirma que una classe és una funció proposicional, el significat de la qual depèn del domini d'objectes que la fan veritable, amb l'explícitament formulat principi del cercle viciós, que prohibeix considerar la totalitat d'una col·lecció com formant part de la mateixa col·lecció. Hi ha tipus de classes, això és, classes els membres de les quals són individus, classes els membres de les quals són classes d'individus, classes els membres de les quals són classes de classes d'individus, etc., igual com existeixen individus o objectes, propietats d'individus i propietats de propietats d'individus, i així successivament. Però cap classe pot ser membre de si mateixa, i, per igual raó, la totalitat d'elements no és ella mateixa un element, sinó una classe de tipus superior. No existeix una «classe totes les classes», sinó simplement una classe de tipus o nivell superior a la resta de tipus de classe

A posteriors dificultats que van sorgir en la interpretació de les classes com a funcions proposicionals, Russell va procurar respondre amb la seva teoria ramificada dels tipus. La teoria ramificada dels tipus (construïda per solucionar les paradoxes semàntiques, per exemple, la del mentider) afegeix a la denominada teoria simple de tipus la noció de distinció de ordres o jerarquies de predicats, dins del mateix tipus. La teoria simple de tipus prohibeix que una propietat s'apliqui a si mateixa i estableix una jerarquia de nivells o tipus; la teoria ramificada estableix diferents ordres dins del mateix tipus lògic i prohibeix que un predicat general s'apliqui amb igual sentit a diferents ordres.

Segons aquesta teoria, no es permeten altres expressions sobre classes que aquelles que nomenen classes els membres de les quals són d'un ordre immediatament inferior a la classe al fet que pertanyen. Així, no existeix una classe els membres de la qual siguin classes i, per aquesta raó, els membres d'una classe (d'individus) no són sinó individus, i de cap manera classes. Però existeix la família de classes els membres de les quals són classes.

La teoria, en distingir diferents nivells de tipus de predicat, permet evitar les contradiccions de determinades paradoxes. En dir «la classe de les classes els membres de les quals no són membres de si mateixes és membre de si mateixa» no fem sinó construir malament una frase, que no resulta ni veritable ni falsa, sinó una frase sense sentit. De manera que, per exemple, hi ha entitats heterològiques, però d'elles no podem qüestionar-nos si són o no són elles mateixes «heterològiques»: el que diem o neguem, com a propietat, de les entitats o coses no pot ser afirmat o negat de la mateixa propietat.

La teoria de tipus de Russell reafirma la idea que no és possible contemplar tots els objectes com a pertanyents a un mateix nivell de realitat (lingüística, almenys), però va experimentar dificultats en el terreny de les matemàtiques i, d'altra banda, tampoc s'ha provat com un element necessari de tot llenguatge, formal o ordinari, per resoldre els problemes de l'autorreferència.

La nova noció de classe li va permetre a Russell acabar la redacció interrompuda dels Principia Mathematica, però la teoria de tipus no ha estat considerada necessària per resoldre paradoxes sobre classes ni tota classe d'autorreferència ha estat considerada viciosa.