Recurs:Russell: definició de nombre

Fins aquí no hem suggerit res mínimament paradoxal. Però quan arribem a l'efectiva definició de nombre no podem evitar el que a primera vista ha de semblar una paradoxa, encara que la impressió aviat ha de desaparèixer. Pensem naturalment que la classe de les parelles (per exemple) és alguna cosa diferent del número 2. Però no hi ha dubte alguna respecte a la classe de les parelles: és indubtable i fàcil de definir, mentre que el número 2 és, en qualsevol altre sentit, una entitat metafísica de la qual mai podem estar segurs si existeix o si li hem seguit la pista. És per tant més prudent acontentar-nos amb la classe de les parelles, de les quals estem segurs, que anar a la recerca d'un problemàtic nombre 2 que seguirà sempre elusiu. D'acord amb això establim la següent definició:

El nombre d'una classe és la classe de totes aquelles classes que són semblants a ella.

El nombre d'una parella serà així la classe de totes les parelles. De fet, la classe de totes les parelles serà el mateix nombre 2, d'acord amb la nostra definició. Al preu de certa raresa, aquesta definició ens assegura quelcom definit i indiscutible; i ens és fàcil provar que tots els nombres d'aquesta manera definits tenen les propietats que se suposa que els nombres han de tenir.

Podem continuar ara definint els nombres en general com qualsevol dels feixos en els quals la semblança reuneix a les classes. Un nombre serà una sèrie de classes tal que dues qualssevol d'aquestes són semblants entre si, i cap fora de la sèrie és semblant a alguna que hi pertany. En altres paraules, un nombre (en general) és qualsevol conjunt que és el nombre d'un dels seus membres; o, més simplement encara:

Un nombre és qualsevol cosa que és el nombre d'alguna classe.

Tal definició té l'aparença verbal de ser circular, però de fet no ho és. Definim «el nombre d'una classe donada» sense emprar la noció de nombre en general; per tant, podem definir el nombre en general en termes de «el nombre d'una classe donada» sense cometre cap error lògic.

De fet, les definicions d'aquest tipus són molt corrents. La classe dels pares, per exemple, hauria de ser definida establint abans de res què és ser el pare d'algú; llavors la classe dels pares consistiria en tots aquells que són el pare d'algú. De manera similar, si volem definir, posem per cas, els nombres al quadrat, hem de definir primer què volem dir quan diem que un nombre és el quadrat d'un altre, i definir llavors els nombres al quadrat com aquells que són el quadrat d'altres nombres. Aquest tipus de procediment és molt comú i és important adonar-se que és legítim, i sovint fins i tot necessari.

«Definición de número», en El mundo de las matemáticas, Grijalbo, Barcelona 1969, vol. IV, p.134-135.

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Original en castellà

Hasta aquí no hemos sugerido nada mínimamente paradójico. Pero cuando llegamos a la efectiva definición de número no podemos evitar lo que a primera vista ha de parecer una paradoja, aunque la impresión pronto tiene que desaparecer. Pensamos naturalmente que la clase de las parejas (por ejemplo) es algo distinto del número 2. Pero no hay duda alguna respecto a la clase de las parejas: es indudable y fácil de definir, mientras que el número 2 es, en cualquier otro sentido, unaentidad metafísica de la que nunca podemos estar seguros si existe o si le hemos seguido la pista. Es por lo tanto más prudente contentarnos con la clase de las parejas, de las que estamos seguros, que ir en busca de un problemático número 2 que seguirá siempre elusivo. De acuerdo con ello establecemos la siguiente definición:

El número de una clase es la clase de todas aquellas clases que son semejantes a ella.

El número de una pareja será así la clase de todas las parejas. De hecho, la clase de todas las parejas será el mismo número 2, de acuerdo con nuestra definición. Al precio de cierta rareza, esta definición nos asegura algo definido e indiscutible; y nos es fácil probar que todos los números de este modo definidos tienen las propiedades que se supone que los números han de tener.

Podemos continuar ahora definiendo los números en general como cualquiera de los fajos en los que la semejanza reúne a las clases. Un número será una serie de clases tal que dos cualquiera de ellas son semejantes entre sí, y ninguna fuera de la serie es semejante a alguna perteneciente a la misma. En otras palabras, un número (en general) es cualquier conjunto que es el número de uno de sus miembros; o, más simplemente aún:

Un número es cualquier cosa que es el número de alguna clase.

Tal definición tiene la apariencia verbal de ser circular, pero de hecho no lo es. Definimos «el número de una clase dada» sin emplear la noción de número en general; por consiguiente podemos definir el número en general en términos de «el número de una clase dada» sin cometer ningún error lógico.

De hecho, las definiciones de este tipo son muy corrientes. La clase de los padres, por ejemplo, tendría que ser definida estableciendo ante todo qué es ser el padre de alguien; entonces la clase de los padres consistiría en todos aquellos que son el padre de alguien. De modo similar, si queremos definir, pongamos por caso, los números al cuadrado, tenemos que definir primero qué queremos decir cuando decimos que un número es el cuadrado de otro, y definir entonces los números alcuadrado como aquellos que son el cuadrado de otros números. Este tipo de procedimiento es muy común y es importante darse cuenta de que es legítimo, y a menudo incluso necesario.