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El resultado más conocido y, en muchos aspectos, más importante de las investigaciones axiomáticas es la invención de las llamadas geometrías no euclídeas. Sabemos hoy que Gauss poseía la mayor parte del conocimiento esencial para su construcción (en parte desde 1792), pero no se atrevió a publicarlo porque temía el «griterío de los beocios». Esto mostrará lo enérgica que puede llegar a ser la influencia de opiniones escolásticas tradicionales, y lo necesaria que es una educación que promueva una visión libre de prejuicios para el progreso de la ciencia. La historia de la geometría no euclídea empieza con la publicación de una obra del matemático ruso Lobatschevski, hacia 1840. El punto esencial consiste en establecer el hecho siguiente: eliminado el postulado euclídeo de la paralela [...] y sustituyéndolo por cualquier otra hipótesis adecuada, al mismo tiempo que se conservan todos los demás axiomas anteriores, es posible por medio de las reglas corrientes de deducción, derivar de este nuevo conjunto de axiomas una nueva geometría. Un tal sistema geométrico ''no contiene en sí mismo ninguna contradicción'', aunque contradice ciertos teoremas de la geometría euclídea. Este hecho refuta la opinión de que los teoremas de geometría enseñados en nuestras escuelas ''se imponen por las leyes del pensamiento'' y son verdades absolutamente seguras, independientes de toda experiencia. [...] ''El estudio de la axiomática geométrica ha probado que puede construirse una geometría consistente que no obedece al axioma de la paralela y, por tanto, no concuerda con la geometría euclídea; así pues, la afirmación de que la geometría corriente es lógicamente inevitable, apodícticamente cierta, e independiente de toda experiencia, queda refutada.''