Mostra la font per a Quine: paradoxes

{{PendentRev}}{{RecursWiki|Tipus=Extractes d'obres}}{{RecursBase|Nom=Quine: paradoxes|Idioma=Español}}
Existeix l'antiga paradoxa d'Epimènides, el cretenc, qui va afirmar que tots els cretencs eren mentiders. Si deia veritat, ell era un mentider. Sembla que aquesta paradoxa va aconseguir l'atenció de sant Pau i que a aquest se li va escapar el seu abast. En la seva Epístola a Tito, li avisava: «Un d'ells mateixos, un profeta sorgit d'entre ells, va dir: "Els cretencs són sempre mentiders"».


En realitat la paradoxa d'Epimènides no està ben formulada. Hi ha algunes fuites. Tal vegada alguns cretencs eren mentiders, en particular Epimènides, i uns altres no ho eren. Tal vegada Epimènides era un mentider que ocasionalment deia la veritat. En qualsevol cas dels dos, la contradicció desapareix. Es pot salvar una mica d'aquesta paradoxa amb una petita reparació, però farem millor si ens passem a una formulació diferent i més simple, també antiga de la mateixa idea. Aquesta és la paradoxa del Pseudomenon, qui afirma simplement: «jo estic mentint». Fins i tot podem deixar a un costat l'indirecte d'una referència personal i afirmar directament de la sentència: «aquesta sentència és falsa». Aquí semblem aconseguir l'essència irreductible de l'antinòmia: una sentència que és veritable si i només si és falsa. En un esforç per aclarir aquesta antinòmia s'ha afirmat que la frase «aquesta sentència», usada d'aquesta forma, no es refereix a res. S'afirma això per la raó que no podem deslliurar-nos d'aquesta frase proporcionant o formulant una sentència a la qual es refereixi. Perquè, a quina sentència es refereix la frase? A la sentència «aquesta sentència és falsa». Si, per tant, substituïm la frase «aquesta sentència» citant la sentència a què es refereix, obtenim: «"aquesta sentència és falsa" és falsa». Però la sentència exterior sencera atribueix falsedat no ja a si mateixa, sinó merament a alguna cosa diferent de si mateixa, i així no s'engendra cap paradoxa.


No obstant això, si amb tenacitat tractem encara de construir una sentència que atribueixi falsedat inequívocament a si mateixa, la podem fer de la següent manera: «"produeix falsedat quan s'afegeix a la seva pròpia cita" produeix falsedat quan s'afegeix a la seva pròpia cita». Aquesta sentència especifica una cadena de 9 paraules i diu d'aquesta cadena que, si l'escrivim dues vegades, amb cometes al voltant de la primera de les dues vegades, el resultat és fals. Però aquest resultat és un relat produït per la mateixa sentència. La sentència és veritable si i només si és falsa i així tenim la nostra antinòmia.


Aquesta és una antinòmia genuïna, igual que la que s'ha presentat sobre «heterològic», o «fals sobre si mateix» sent veritable de si mateixa. Però mentre que les anteriors es referien a «veritable sobre» a través de la construcció «no veritable de si mateix», la nostra nova paradoxa es refereix merament a «veritable» a través de la construcció «falsedat» o «proposició no veritable». Podem evitar ambdues antinòmies i altres relacionades amb elles deixant d'usar «veritable de» i «veritable», i els seus equivalents i derivats, o almenys deixant d'aplicar tals locucions de veritat a adjectius o sentències que continguin elles mateixes tals locucions de veritat.

Aquesta restricció pot ser alguna cosa ampliada admetent una jerarquia de locucions de veritat, com ha estat suggerit en l'obra de Bertrand Russell i del matemàtic polonès Alfred Tarski [...]. Les expressions «veritable», «veritable sobre», «fals», i altres relacionades amb elles, poden ser usades amb subíndexs numèrics, «0», «1», «2», etc., subíndex que s'escriuen o s'imaginen. És a dir,

<center>«vertader<sub>0</sub>», «vertader<sub>1</sub>», «vertader<sub>2</sub>», «fals<sub>0</sub>», etc.</center>

Llavors podem evitar les antinòmies cuidant, quan una locució de veritat (''T'') s'aplica a una sentència o a una altra expressió (''S''), que el subíndex en (''T'') sigui superior a qualsevol subíndex dins de ''S''. Les violacions a aquesta restricció serien tractades com sense sentit, o contra la gramàtica, més aviat que com a sentències veritables o falses. Per exemple, podríem preguntar-nos amb sentit si els adjectius «llarg» i «breu» són

<center>«vertader<sub>0</sub>»</center>

de si mateixos. Les respostes són respectivament no i sí. Però no podem parlar amb sentit de la frase

<center>«no vertader<sub>0</sub> respecte de si mateix», com «no vertader<sub>0</sub> o fals<sub>0</sub> respecte de si mateix»</center>

Hauríem de preguntar-nos si és vertader<sub>1</sub>, o fals <sub>1</sub> respecte de si mateix

i això és qüestió que no condueix a cap antinòmia. En qualsevol de les dues formes aquesta qüestió pot ser resposta amb una negativa simple i sense perill.

Aquest punt mereix insistència. Mentre que «llarg» i «breu» són adjectius que poden aplicar-se amb sentit a si mateixos, falsament en un cas i veritablement en un altre, al contrari, "vertader<sub>0</sub> de si mateix" i "no vertader<sub>0</sub> de si mateix" són frases adjectives que no poden en absolut ser aplicades a si mateixes amb sentit ni veritablement ni falsament. Per tant, la qüestió

<center>«És veritat<sub>0</sub> de si mateix i vertader<sub>1</sub> de si mateix?»</center>

té una resposta negativa. La frase adjectiva «vertader<sub>0</sub> de si mateix és vertader<sub>0</sub> de si mateix» més que vertadera<sub>1</sub> de si mateixa no té sentit aplicada a si mateixa.

Considerem ara a continuació, en termes de subíndexs, la versió anterior més perversa del ''pseudomenon''. Per a donar-li un sentit ple, hem d'introduir ara subíndexs en les dues aparicions de la paraula «falsedat», i en ordre ascendent, de la següent manera:

<center>«"produeix falsedat <sub>0</sub> quan es referix a si mateixa", produeix falsetat<sub>1</sub> quan es referix a si mateixa»</center>

Immediatament desapareix la paradoxa. Aquesta sentència és inequívocament falsa. El que ens afirma és que una certa forma descrita de paraules és falsa<sub>1</sub>, és a dir, la forma  d les paraules

<center>«"produeix falsedat <sub>0</sub> quan es referix a si mateixa", produeix falsetat<sub>1</sub> quan es referix a si mateixa»</center>

Però en realitat aquesta forma de les paraules no és falsa, simplement no té sentit.  Així la sentència precedent, que deia que aquesta forma de paraules

<center>era falsa<sub>1</sub>, es falsa. És falsa<sub>2</sub></center>.


Això pot semblar una manera estranya d'eliminar antinòmies. Però seria molt més costós l'ometre la paraula «veritable», i locucions relacionades amb ella, d'una vegada per sempre. A un cost intermedi es podrien merament deixar d'aplicar tals locucions a expressions que continguin tals locucions. Qualsevol altre mètode és menys econòmic que aquest mètode dels subíndexs. Els subíndexs ens capaciten per a aplicar locucions de veritat a expressions contenint tals locucions, si bé en una manera que desconcerta una mica per la seva diferència amb el que estem acostumats. Cadascun d'aquests artificis és desesperat. Cadascun és una separació artificial de l'ús natural i establert. Tal és el que causen les antinòmies.
{{Ref|Ref=''Paradoja'', en ''Matemáticas en el mundo moderno'', Selecciones de «Scientific American», Blume, Madrid-Barcelona 1974, p. 227-228.|Títol=Paradoja'', en ''Matemáticas en el mundo moderno|Cita=true}}
{{InfoWiki}}