Mostra la font per a Matemàtiques, filosofia de les

{{ConcepteWiki}}
Rama de la filosofia que estudia els problemes [[epistemologia|epistemològics]] que susciten les matemàtiques. Al llarg de la seva història, aquests problemes han fet referència bàsicament:

:1) al raonament matemàtic;
:
:2) a la fonamentació de la ciència matemàtica i
:
:3) a la qüestió de quin tipus d'[[entitat|entitat]] són els objectes matemàtics.


Des dels seus orígens, el raonament matemàtic no ha tingut res a veure amb el clàssic [[raonament|raonament]] de la lògica aristotèlica; [[Autor:Descartes, René(Cartesius)|Descartes]] i [[Autor:Mill,_John_Stuart|J. Stuart Mil]], i abans [[Autor:Bacon, Francis|Bacon]], van posar en relleu en el seu moment l'esterilitat científica del raonament fet per [[sil·logisme|sil·logismes]] enfront de la fecunditat i rigor del raonament matemàtic. També [[Autor:Kant, Immanuel|Kant]] va reconèixer l'estancament de la lògica, per a ell tancada i acabada, mentre que valorava el coneixement que aportaven les matemàtiques. Dels matemàtics van aprendre els epistemòlegs que existien altres formes de raonament, diferents de les de la lògica aristotèlica, per exemple, el raonament per [[recursivitat, recursiu|recursividad]], el més característic dels raonaments matemàtics, també anomenat [[inducció matemàtica|inducció matemàtica]]. Però ha estat l'estudi dels seus propis fonaments el que més ha contribuït a la reflexió filosòfica sobre la matemàtica. Tradicionalment, es mantenia com a afirmació indiscutida que les matemàtiques es fonamentaven en alguna classe de [[intuïció|intuïció]]. Sigui entesa en sentit cartesià o en sentit kantià, la intuïció matemàtica exerceix el paper fonamental de captació bàsica de l'objecte, sigui el nombre, o el punt, la línia o la figura: els objectes matemàtics es presenten com a tals a un [[enteniment|enteniment]] humà que és capaç de conèixer-los i estudiar-los, com si es tractés d'alguna manera de [[platonisme matemàtic|formes platòniques]] preexistents i independents. Aquestes intuïcions es plasmaven deductivament en [[axioma|axiomes]], [[postulat|postulats]], [[definició|definicions]] i [[teorema|teoremes]].

Els canvis esdevinguts al llarg del s. XIX en el desenvolupament de la teoria de conjunts ([[Autor:Cantor, Georg|Cantor]]) i la lògica ([[Autor:Boole, Georg|Boole]], De Morgan), en la fonamentació de la lògica en l'aritmètica ([[Autor:Frege, Gottlob|Frege]]) i sobretot de la geometria, en particular a causa de l'aparició, cap a 1825, de les anomenades geometries no euclidianes (Lobachevsky, Riemann i uns altres), van obligar a un canvi de perspectiva matemàtica: sembla més adequat pensar que les teories matemàtiques i els objectes matemàtics són obra de la [[ment|ment]]. Apareix així la concepció moderna de les matemàtiques. A la importància donada als sistemes deductius basats en última instància en la intuïció de [[primers principis|primers principis]], enfocament que procedeix del mateix [[Autor:Euclides d'Alexandria|Euclides]], que segueix en això la concepció axiomàtica de la ciència d'[[Autor:Aristòtil|Aristòtil]], succeeix la necessitat de justificar per què s'escullen determinats axiomes en comptes d'uns altres. A la noció d'objecte matemàtic succeeix, com a fonamental, la d'[[estructura|estructures]] matemàtiques amb propietats formals. Els axiomes s'organitzen en [[sistema|sistemes]] i es busca un [[llenguatge|llenguatge]] per expressar-los amb tot rigor, de manera que se succeeixen intents de [[formalització|formalització]] i [[axiomatització|axiomatització]] de totes les teories matemàtiques fonamentals, i apareix així el [[mètode axiomàtic|mètode axiomàtic]]. En lloc de la [[intuïció|intuïció]] i  l'[[evidència|evidència]], característiques tradicionals dels axiomes, es consideren fonamentals les noves propietats dels sistemes formals axiomàtics: [[consistència|consistència]], [[completesa|completesa]], [[independència|independència]], [[decidibilitat|decidibilitat]] i satisfacibilitat. Les matemàtiques busquen els seus nous fonaments i al «estudi dels fonaments» de la matemàtica se la denomina [[lògica, història de la|lògica matemàtica]]. L'enorme impuls inicial que van suposar, per al desenvolupament de les noves matemàtiques, els descobriments sobre teoria de conjunts, en la qual es basava la fonamentació de les matemàtiques, es va veure amenaçat per la denominada «crisi dels fonaments», produïda per l'observació de contradiccions en el si de la mateixa teoria.

[[File:russell7.gif|thumb|B. Russell]]
La [[paradoxa de Burali-Forti|paradoxa de Burali-Forti]] (1897) i la formulada per [[paradoxa de Russell|Russell]] (1901) van posar de manifest la [[inconsistència|inconsistència]] de la teoria de conjunts de Cantor i la de les classes de Frege, respectivament. El dubte sobre la solidesa dels fonaments matemàtics va seguir tres vies d'investigació: el logicisme, l'intuïcionisme i el formalisme. ja que les paradoxes de la teoria de conjunts eren de naturalesa lògic-matemàtica, Whitehead i Russell van emprendre la reforma de la lògica amb la seva obra conjunta ''Principia Mathematica ''(1910-1913). En ella es troba la [[tipus lògics, teoria dels|teoria dels tipus,]] amb la qual Russell aconsegueix demostrar la consistència de l'àlgebra i l'aritmètica de [[classe (lògica)|classes]]. La distinció de diferents nivells de llenguatge, iniciada per Russell i completada per [[Autor:Tarski, Alfred|Tarski]] i [[Autor:Carnap, Rudolf|Carnap]], va permetre resoldre [[paradoxa|paradoxes]] semàntiques.

El [[logicisme|logicisme]] va perseguir com a objectiu la fonamentació de la matemàtica en la lògica. Aquest plantejament no va ser del grat de molts matemàtics, que van considerar que les matemàtiques comprenen una mica més que la lògica matemàtica, o estudi dels seus fonaments, i l'atenció es va dirigir a l'estudi dels sistemes formals axiomàtics mateixos, és a dir, a la seva formalització: el [[formalisme|formalisme]], iniciat per [[Autor:Hilbert, David|Hilbert]], pretén demostrar la consistència d'un sistema axiomàtic (de la matemàtica) des de fora del sistema (des de la metamatemàtica). La metamatemàtica d'Hilbert, el denominat programa formalista, aspirava a construir una teoria des de la qual pogués demostrar-se la consistència, la completesa, i la decidibilitat d'un sistema axiomàtic (el seu objectiu concret era provar la consistència de l'aritmètica elemental). [[Autor:Gödel, Kurt|K. Gödel]] va sostenir, en 1931, amb l'[[incompletesa, teorema de la|teorema de la incompletesa]], que un sistema axiomàtic d'aritmètica elemental no era complet, si era consistent, o que no podia provar-se la consistència d'un sistema d'aritmètica elemental que fos complet. La qual cosa equival a dir que la consistència d'un sistema ha de provar-se sempre des d'un altre sistema. La tercera via d'investigació sobre els fonaments, l'[[intuïcionisme|intuïcionisme]] de Brouwer, es va centrar en els defectes del que es donava per descomptat en els fonaments i en les mateixes demostracions matemàtiques: s'acceptaven gratuïtament, al seu entendre, conjunts infinits i principis, com el del [[principi del tercer exclòs|tercer excluxo]], base de la lògica bivalent, que no poden considerar-se universalment veritables. El principi fonamental de l'intuïcionisme és que tot objecte matemàtic, en oposició als residus de [[platonisme matemàtic|platonisme]] que existeixen encara en el formalisme, és alguna cosa construït per la ment humana i que només ha d'acceptar-se allò la demostració de la qual sigui possible. Les crítiques de Brouwer van donar pas al desenvolupament de noves lògiques no clàssiques: trivalents i polivalents ([[Autor:Tarski, Alfred|Tarski]], [[Autor:Lukasiewicz, Jan|Lukasiewicz]], [[Autor:Reichenbach, Hans|Reichenbach]]).


Vegeu [[nombre|nombre]].

[[Recurs:termes relacionats amb matemàtiques|Termes relacionats]]
{{Etiqueta
|Etiqueta=Filosofia de la ciència
}}
{{Etiqueta
|Etiqueta=Epistemologia
}}
{{InfoWiki}}